Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 41–60 / 211

Vypočítejte následující limity:

a) \[\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\]

b) \[\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + n}\]

c) \[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]

d) \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}\]

e) \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n+2}\]

f) \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n + 1}{n^3 + 2n^2 + 3}\]

Řešení

a) 1

b) 2

c) e

d) 0

e) 1

f) 0

Matematická úloha – Limity posloupností 1

42. Logaritmické rovnice

Vyřešte v R logaritmické rovnice:

a) $ \log_3\left(5 + \log_2((x-1)^4)\right) = 2 $

b) $ \log_2(x) + \log_2(x - 1) = 3 $

c) $ \log_3(x^2 + 3x) - \log_3(x) = 1 $

d) $ \log_5(x^2 - 4) + \log_5(2x) = 2 $

e) $ \ln(x^2 + 2x) - \ln(x + 1) = \ln(4) $

f) $ \log_{10}(x^2 + 4x + 4) + \log_{10}(x + 3) = 2 $

Řešení

a) $ x = 3 \quad \text{a} \quad x = -1 $

b) $ x = 4 $

c) $ \text{Žádné řešení.} $

d) $ x = 3 $

e) $ x = 2 $

f) $ x = 2 $

Matematická úloha – Logaritmické rovnice

43. Logaritmické rovnice

Vyřeš logaritmické rovnice:

a) $ \log_2(x+1) + \log_2(x-1) = 3 $

b) $ \log_2(2x+3) - \log_2(x-1) = 1 $

c) $ \log_2(x+4) + \log_2(x-2) = 3 $

d) $ \log_2(x+4) + \log_2(x-2) = 3 $

e) $ \log_2(4x+1) - \log_2(x-1) = 3 $

f) $ \log(99x+100) - \log(x-1) = 2 $

Řešení

a) \[ x = 3 \]

b) \[ \text{nemá řešení} \]

c) \[ x = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} \]

d) \[ x = -1 + \sqrt{17} \]

e) \[ x = \frac{9}{4} \]

f) \[ x = 200 \]

44. Determinant matice

Spočítejte determinant matice:

a) \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]

b) \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) $ \text{det}(A) = -71 $

b) $ \text{det}(B) = 26 $

45. Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

Pomocí Gaussovy eliminace řešte soustavy rovnic:

a) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \]

b) \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 3 \\ 6 & 9 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]

c) \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]

d) \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 15 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -1 $, $ x_3 = 1 $

b) $ x_1 = -1 $, $ x_2 = 0 $, $ x_3 = 1 $

c) $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 1 $, $ x_3 = 2 $

d) Nemá řešení.

Matematická úloha – Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

46. Derivace složených funkcí

Určete derivace následujících funkcí:

a) $ f_1(x) = \sin(3x^2) $

b) $ f_2(x) = \ln(\cos(x^2)) $

c) $ f_3(x) = e^{x^3} $

d) $ f_4(x) = \sqrt{2x^5 + 1} $

e) $ f_5(x) = \tan(\ln(x)) $

f) $ f_6(x) = \frac{1}{x^2 + e^{2x}} $

g) $ f_7(x) = \sin(\sqrt{x}) $

h) $ f_8(x) = \frac{\ln(x)}{x^3} $

Řešení

a) \[ f_1'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x \]

b) \[ f_2'(x) = -2x \cdot \tan(x^2)\]

c) \[ f_3'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 \]

d) \[ f_4'(x) = \frac{5x^4}{\sqrt{2x^5 + 1}} \]

e) \[ f_5'(x) = \frac{1}{x \cdot \cos^2(\ln(x))} \]

f) \[ f_6'(x) = -\frac{2x + 2e^{2x}}{(x^2 + e^{2x})^2} \]

g) \[ f_7'(x) = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]

h) \[ f_8'(x) = \frac{1 - 3\ln(x)}{x^4} \]

Matematická úloha – Derivace složených funkcí

47. Derivace polynomů

Určete derivace funkcí:

a) $ f_1(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 7 $

b) $ f_2(x) = -2x^5 + 4x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x $

c) $ f_3(x) = 5x^3 - 7x^2 + x - 8 $

d) $ f_4(x) = -x^5 + 3x^4 - 2x^2 + x - 4 $

e) $ f_5(x) = 6x^4 - 5x^3 + 4x - 9 $

f) $ f_6(x) = -4x^5 + x^3 - 3x^2 + 7x $

g) $ f_7(x) = 3x^4 - x^2 + 2x - 1 $

h) $ f_8(x) = 5x^5 - 3x^4 + x^2 - 6 $

Řešení

a) $ f'_1(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x - 1 $

b) $ f'_2(x) = -10x^4 + 16x^3 - 3x^2 + 12x - 3 $

c) $ f'_3(x) = 15x^2 - 14x + 1 $

d) $ f'_4(x) = -5x^4 + 12x^3 - 4x + 1 $

e) $ f'_5(x) = 24x^3 - 15x^2 + 4 $

f) $ f'_6(x) = -20x^4 + 3x^2 - 6x + 7 $

g) $ f'_7(x) = 12x^3 - 2x + 2 $

h) $ f'_8(x) = 25x^4 - 12x^3 + 2x $

48. Průsečík lineárních funkcí

Určete průsečík grafů lineárních funkcí:

a) $ f_1(x) = 4x - 3 $, $ f_2(x) = -x + 2 $

b) $ f_1(x) = 4x - 1 $, $ f_2(x) = 2x + 5 $

c) $ f_1(x) = 3x + 2 $, $ f_2(x) = 3x + 5 $

d) $ f_1(x) = -x + 4 $, $ f_2(x) = 2x - 2 $

e) $ f_1(x) = -10x - 14 $, $ f_2(x) = -10x - 14 $

f) $ f_1(x) = x - 3 $, $ f_2(x) = -2x + 1 $

g) $ f_1(x) = -3x + 6 $, $ f_2(x) = x + 2 $

h) $ f_1(x) = 2x - 4 $, $ f_2(x) = -x + 5 $

Řešení

a) [1, 1]

b) [3, 11]

c) nemá řešení

d) [2, 2]

e) nekonečně mnoho řešení

f) [ $\frac{4}{3}$, $-\frac{5}{3}$ ]

g) [1, 3]

h) [3, 2]

Matematická úloha – Průsečík lineárních funkcí

49. Logaritmické rovnice

Vyřešte logaritmické rovnice:

a) $ \log_3 (x + 2) = 2 $

b) $ \log_5 (2x - 1) = 3 $

c) $ \log_2 (3x + 4) = 4 $

d) $ \log_4 (5x - 3) = 2 $

e) $ \log_7 (x^2 - 1) = 1 $

f) $ \log_6 (2x + 5) = 0 $

g) $ \log_9 (4x - 7) = 2 $

h) $ \log_{10} (x + 9) = 1 $

Řešení

a) $ x = 7 $

b) $ x = 63 $

c) $ x = 4 $

d) $ x = 3.8 $

e) $ x = 2\sqrt{2} $ nebo $ x = -2\sqrt{2} $

f) $ x = -2 $

g) $ x = 22 $

h) $ x = 1 $

50. Exponenciální rovnice počítané substitucí

Vypočítej exponenciální rovnice v oboru reálných čísel:

a) $ 2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 $

b) $ 3^{2x} + 2 \cdot 3^x - 8 = 0 $

c) $ 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 $

d) $ 4^{2x} - 8 \cdot 4^x + 16 = 0 $

e) $ 9^{2x} - 7 \cdot 9^x + 12 = 0 $

f) $ 7^{2x} - 13 \cdot 7^x + 42 = 0 $

g) $ 6^{2x} - 5 \cdot 6^x - 6 = 0 $

h) $ 10^{2x} + 3 \cdot 10^x - 4 = 0 $

Řešení

a) $ x = 0 $ nebo $ x = 1 $

b) $ x = \log_3 2 $

c) $ x = 1 $ nebo $ x = 0 $

d) $ x = 1 $

e) $ x = \frac{1}{2} $ nebo $ x = \log_9 4 $

f) $ x = \log_7 6 $ nebo $ x = 1 $

g) $ x = 1 $

h) $ x = 0 $

Matematická úloha – Exponenciální rovnice počítané substitucí

51. Plocha pod křivkou

Najděte obsah plochy pod křivkou:

a) $ f(x) = 0.3x^2 + 0.2x - 0.2 $ v intervalu od $ x = 1 $ do $ x = 4 $,

b) $ f(x) = e^{-x} + 2 $ v intervalu od $ x = 0 $ do $ x = 2 $.

Řešení

a) Obsah plochy je $ 7.2 $ jednotek čtverečních.

b) Obsah plochy je přibližně $ 4.8647 $ jednotek čtverečních.

52. Determinant matic

Určete determinant matice:

a) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

b) \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

c) \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]

d) \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 5 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

e) \[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]

f) \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) 0

b) 3

c) 0

d) -33

e) 16

f) 0

53. Průsečík dvou rovin

Jsou dány dvě roviny:

$ x + y - z = 0 $

$ -2x + y - z + 3 = 0 $

Určete průsečík těchto rovin.

Řešení

Průsečíkem rovin je přímka $ x + y - z = 0 $ a $ -2x + y - z + 3 = 0 $.

54. Řešení soustavy Gaussovou eliminací

Je dána soustava rovnic o 4 neznámých

\[ \begin{aligned} 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 4x_4 &= 10 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 - 3x_4 &= -5 \\ 4x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 &= 12 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 &= 7 \end{aligned} \]

Ověřte Frobeniovu podmínku a soustavu vyřešte pomocí Gaussovy eliminační metody.

Řešení

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = -1 $, $ x_3 = 3 $, $ x_4 = -2 $

55. Hodnost matic 1

Určete hodnost následujících matic:

a) \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

b) \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

c) \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]

d) \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]

e) \[ E = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]

f) \[ F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) Hodnost 2, matice je singulární.

b) Hodnost 3, matice je regulární.

c) Hodnost 1, matice je singulární.

d) Hodnost 3, matice je regulární.

e) Hodnost 3, matice je regulární.

f) Hodnost 2, matice je singulární.

56. Body na jedné přímce

Rozhodněte, zda tři body leží na jedné přímce, nebo ne.

a) A[1; 2], B[2; 4], C[3; 6]

b) A[0; 0], B[1; 3], C[2; 5]

c) A[-1; 2], B[0; 0], C[2; -4]

d) A[1; 1], B[2; 3], C[4; 5]

e) A[0; 1], B[2; 3], C[4; 5]

f) A[2; -1], B[4; 1], C[6; 3]

Řešení

a) 1

b) 0

c) 1

d) 0

e) 1

f) 0

Matematická úloha – Body na jedné přímce

57. Existence pravoúhlého trojúhelníku

Jsou zadané body v rovině $ A[1; 1] $, $ B[2; 4] $, $ C[7; -1] $.

Určete, jestli zadané body tvoří pravoúhlý trojúhelník.

Řešení

Body $ A[1; 1] $, $ B[2; 4] $, $ C[7; -1] $ tvoří pravoúhlý trojúhelník.

Matematická úloha – Existence pravoúhlého trojúhelníku

58. Exponenciální rovnice

Najděte řešení exponenciálních rovnic:

a) $3^{x-1} - 3^{x} + 3^{x+1}=567$

b) $6 \cdot 2^{x+1} - 20 \cdot 2^{x-1} =16$

Řešení

a) x = 5

b) x = 3

Matematická úloha – Exponenciální rovnice

59. Průsečíky kvadratických funkcí

Najděte průsečíky funkcí

a) $f \left (x \right ) = x^{2} - 5x + 8, g \left (x \right ) = x^{2} - 3x - 4$

b) $f \left (x \right ) = x^{2} - 4, g \left (x \right ) = x + 2$

c) $f \left (x \right ) = x^{2} + 2x + 3, g \left (x \right ) = - x^{2} + 2$

d) $f \left (x \right ) = x^{2} + 4x + 3, g \left (x \right ) = 3 - x^{2}$

e) $f \left (x \right ) = x^{2} + 2x + 3, g \left (x \right ) = \frac{x^2}{2} + x + \frac{5}{2}$

f) $f \left (x \right ) = \left (x - 2 \right )^{2} - 1, g \left (x \right ) = \left (x - 3 \right ) \cdot \left (x - 1 \right )$

Řešení

a) $P \left [6; 14 \right ]$

b) $P_1 \left [-2; 0 \right ], P_2 \left [3; 5 \right ]$

c) nemá průsečíky

d) $P_1 \left [-2; -1 \right ], P_2 \left [0; 3 \right ]$

e) $P \left [-1; 2 \right ]$

f) nekonečně mnoho řešení $P \left [x; x^{2} - 4x + 3 \right ]$

Matematická úloha – Průsečíky kvadratických funkcí

60. Kvadratická funkce zadaná třemi body

V kartézské soustavě souřadnic jsou dány body.

Určete předpis kvadratické funkce, která prochází body:

a) $A[-2;10], B[0;2], C[1;-1]$

b) $A[-2;-10], B[1;8], C[2;18]$

c) $A[-3;-5], B[-1;-2], C[1;1]$

d) $A[0;5], B[2;-3], C[4;-19]$

e) $A[2;1], B[5;-2]$

f) $A[1;5], B[3;-13], C[5;-47]$

Řešení

a) $f \left (x \right ) = x^{2} - 4x + 2$

b) $f \left (x \right ) = x^{2} + 7x$

c) nemá řešení

d) $f \left (x \right ) = -x^{2} - 2x + 5$

e) nekonečně mnoho řešení

f) $f \left (x \right ) = -2x^{2} - x + 8$

Matematická úloha – Kvadratická funkce zadaná třemi body

1 234 5

Střední škola

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení