Úlohy: 21–40 / 173

12345
Přehled ročníků

21. Existence pravoúhlého trojúhelníku

Jsou zadané body v rovině \( A[1; 1] \), \( B[2; 4] \), \( C[7; -1] \).

Určete, jestli zadané body tvoří pravoúhlý trojúhelník.
Řešení
Body \( A[1; 1] \), \( B[2; 4] \), \( C[7; -1] \) tvoří pravoúhlý trojúhelník.

22. Exponenciální rovnice

Najděte řešení exponenciálních rovnic:
a)   
b)   
Řešení
a)   x = 5
b)   x = 3

23. Průsečíky kvadratických funkcí

Najděte průsečíky funkcí
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   nemá průsečíky
d)   
e)   
f)   nekonečně mnoho řešení

24. Kvadratická funkce zadaná třemi body

V kartézské soustavě souřadnic jsou dány body.

Určete předpis kvadratické funkce, která prochází body:
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   nemá řešení
d)   
e)   nekonečně mnoho řešení
f)   
g)   

25. Budova ve tvaru písmene H

Budova ve tvaru písmene H se skládá ze 3 částí. Dvě stejné části mají následující rozměry, výška 805 cm, šířka 525 cm, délka je 15 m. Třetí část ve tvaru krychle má šířku 7 m.

Vypočítejte, jaký je celkový objem budovy v metrech krychlových. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)
Řešení
Celkový objem budovy je 1 611,63 m³.

26. Úhlopříčky v rovnoběžníku

Je dán rovnoběžník KLMN, ve kterém známe velikosti stran \( a = |KL| = 84,5 \, \mathrm{cm} \), \( d = |KN| = 47,8 \, \mathrm{cm} \) a velikost úhlu \( \alpha = \angle NKL = 56^\circ 40' \).

Vypočítejte v centimetrech velikost
a)   úhlopříčky \( e = |KM| \),
b)   úhlopříčky \( f = |LN| \).
Řešení
a)   Úhlopříčka e je dlouhá 99,86 cm.
b)   Úhlopříčka f je dlouhá 166,52 cm.

27. Rovnice kružnice

Napište rovnici kružnice, která prochází body Q[3; 5], R[2; 6] a má střed na přímce .
Řešení

28. Trosečník na ostrově

Trosečník přišel na pustý ostrov se 4 obilnými zrnky. Z jednoho zrnka získal 10 zrnek a na chléb potřeboval 1 kg obilí a 1 zrnko má hmotnost asi 0,20 g? (Předpokládejme jednu úrodu za rok.)

Vypočítejte, kolik let trosečníkovi trvalo, než si vypěstoval dost obilí na chléb.
Řešení
Trosečníkovi trvalo 4 roky, než si vypěstoval dost obilí na chléb.

29. Třídička brambor

Kvůli velké úrodě brambor letos přikoupili na statku ke staré třídičce novou, výkonnější. Nyní pracují oba stroje současně, a proto je denní sklizeň zpracována za 12 hodin. Kdyby pracoval pouze starý stroj, potřeboval by ke zpracování denní sklizně o 10 hodin více než samotný nový stroj.

Vypočítejte, jak dlouho by to staré třídičce trvalo. Zapište v hodinách a minutách.
Řešení
Staré třídičce by to trvalo 30 hodin.

30. Násobení zlomků s neznámou

Když sečteme zlomky a dostaneme stejný výsledek, jako když je vynásobíme.

Vypočítejte hodnotu x.
Řešení
Řešením je číslo 7.

31. Tisk papíru

Tiskárna vytiskne 5 stránek za p sekund.

Vypočítejte, kolik stránek vytiskne tiskárna za p minut.
Řešení
Za p minut vytiskne tiskárna 300 stránek.

32. Ukládání knih do knihovny

Lucie má 5 různých knih, z nichž 2 určité knihy chtějí být vedle sebe na polici.

Vypočítejte, kolika různými způsoby může Lucie uspořádat všech 5 knih na polici s tímto požadavkem.
Řešení
Lucie může naskládat knihy do knihovny 48 možnými způsoby.

33. Výběr filmů

Evžen si stáhl 5 různých filmů ale má čas si pustit pouze 3, je jedno v jakém pořadí.

Vypočítejte, kolika různými způsoby může Evžen vybrat filmy, které si pustí.
Řešení
Evžen může vybrat filmy 10 různými způsoby.

34. Definiční obor funkcí 1

Určete definiční obory \( D_f \) následujících funkcí:
a)   \[ f(x) = \frac{1}{x - 2} \]
b)   \[ g(x) = \sqrt{5 - x} \]
c)   \[ h(x) = \ln(x + 3) \]
d)   \[ k(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 4} \]
e)   \[ m(x) = \sqrt{3x + 9} \]
f)   \[ n(x) = \frac{\ln(x)}{x^2 - 1} \]
Řešení
a)   \[ D_f = (-\infty, 2) \cup (2, \infty).\]
b)   \[ D_g = (-\infty, 5\rangle.\]
c)   \[ D_h = (-3, \infty).\]
d)   \[ D_k = \langle -1, 4) \cup (4, \infty).\]
e)   \[ D_m = \langle -3, \infty).\]
f)   \[ D_n = (0, 1) \cup (1, \infty).\]

35. Cyklistická etapa

Tři cyklisté se absolvovali etapu po stejné trase. První cyklista jel průměrně o 6 kilometrů za hodinu rychleji než druhý a dojel do cíle o hodinu dříve. Naopak třetí cyklista jel průměrně o 6 kilometrů za hodinu pomaleji než druhý a dojel tak do cíle o 2 hodiny později.

Určete v kilometrech délku trasy.
Řešení
Trasa byla dlouhá 72 kilometrů.

36. Složení volejbalového týmu

U hřiště stojí 10 mužů a 8 žen.

Určete, kolika způsoby lze vybrat volejbalový tým (který má šest členů), s podmínkou, že:
a)   tým bude obsahovat právě dvě ženy,
b)   maximálně dvě ženy.
Řešení
a)   5 880 možností
b)   8 106 možností

37. Počet ťuknutí při přípitku

Na oslavě se sešlo 15 hostů. Při přípitku si každý s každým ťukl sklenicí právě jednou.

Vypočítejte, kolik zaznělo ťuknutí.
Řešení
Při přípitku zaznělo 105 ťuknutí.

38. Vzdálenosti bodů

Jsou dány dvojice bodů v rovině.

Určete vzdálenost bodů v každé dvojici.
a)   A[-4;3], B[4;-3]
b)   C[-2;1], D[2;10]
c)   E[2;-1], F[-5;1]
d)   G[4;-3], H[-5;5]
Řešení
a)   10
b)    sqrt(97)
c)    sqrt(53)
d)    sqrt(145)

39. Úhly v devítiúhelníku

Je dán pravidelný devítiúhelník ABCDEFGHI.

Vypočítejte všechny vnitřní úhly čtyřúhelníku ABEH.
Řešení

40. Průnik koule a roviny

Určete v cm2 obsah kruhu, který je průnikem koule K(O; 10 cm) a roviny, která je vzdálená od bodu O 6 cm. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)

Řešení
Obsah kruhu je 25,13 cm2.
 
12345