Úlohy: 1–20 / 173

12345
Přehled ročníků

1. Limity funkcí

Pomocí l'Hospitalova pravidla vypočítejte limity funkcí:
a)   \[\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}\]
b)   \[\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\]
c)   \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2}\]
d)   \[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]
e)   \[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\]
f)   \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\]
Řešení
a)   0
b)   0
c)   0
d)   2
e)   0
f)   1

2. Derivace funkcí

Vypočítejte derivace následujících funkcí:
a)   \[ f(x) = x^2 \cdot e^x \]
b)   \[ g(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \]
c)   \[ h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \]
d)   \[ k(x) = \sqrt{x^2 + 1} \]
e)   \[ m(x) = e^{\sin(x)} \]
f)   \[ p(x) = \ln(x^2 + 1) \]
Řešení
a)   \[ f'(x) = e^x (2x + x^2) \]
b)   \[g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}\]
c)   \[h'(x) = \cos(2x)\]
d)   \[k'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\]
e)   \[m'(x) = e^{\sin(x)} \cos(x)\]
f)   \[p'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]

3. Sarrusovo pravidlo

Vypočítejte determinant pomocí Sarrusova pravidla:
a)   \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \]
b)   \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\3 & 5 & 6 \end{vmatrix}\]
c)   \[ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}\]
d)   \[ \begin{vmatrix}1 & 3 & 5 \\2 & 1 & 4 \\3 & 2 & 1\end{vmatrix}\]
e)   \[ \begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3\end{vmatrix}\]
f)   \[\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}\]
Řešení
a)   \( 0 \)
b)   \( 7 \)
c)   \( -19 \)
d)   \( 28 \)
e)   \( 45 \)
f)   \( 1 \)

4. Limity posloupností 2

Vypočítejte následující limity:
a)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 5}{n^2 + 4n + 1}\]
b)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n + \ln n}{n + 1}\]
c)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n^2}\]
d)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^2 + 1}\]
e)   \[\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n\]
f)   \[\lim_{n \to \infty} n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\]
Řešení
a)   3
b)   1
c)   0
d)   \( \infty \)
e)   \( e^{-2} \)
f)   1

5. Limity posloupností 1

Vypočítejte následující limity:
a)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\]
b)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + n}\]
c)   \[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]
d)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}\]
e)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n+2}\]
f)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n + 1}{n^3 + 2n^2 + 3}\]
Řešení
a)   1
b)   2
c)   e
d)   0
e)   1
f)   0

6. Logaritmické rovnice

Vyřešte v R logaritmické rovnice:
a)   \( \log_3\left(5 + \log_2((x-1)^4)\right) = 2 \)
b)   \( \log_2(x) + \log_2(x - 1) = 3 \)
c)   \( \log_3(x^2 + 3x) - \log_3(x) = 1 \)
d)   \( \log_5(x^2 - 4) + \log_5(2x) = 2 \)
e)   \( \ln(x^2 + 2x) - \ln(x + 1) = \ln(4) \)
f)   \( \log_{10}(x^2 + 4x + 4) + \log_{10}(x + 3) = 2 \)
Řešení
a)   \( x = 3 \quad \text{a} \quad x = -1 \)
b)   \( x = 4 \)
c)   \( \text{Žádné řešení.} \)
d)   \( x = 3 \)
e)   \( x = 2 \)
f)   \( x = 2 \)

7. Logaritmické rovnice

Vyřeš logaritmické rovnice:
a)   \( \log_2(x+1) + \log_2(x-1) = 3 \)
b)   \( \log_2(2x+3) - \log_2(x-1) = 1 \)
c)   \( \log_2(x+4) + \log_2(x-2) = 3 \)
d)   \( \log_2(x+4) + \log_2(x-2) = 3 \)
e)   \( \log_2(4x+1) - \log_2(x-1) = 3 \)
f)   \( \log(99x+100) - \log(x-1) = 2 \)
Řešení
a)   \[ x = 3 \]
b)   \[ \text{nemá řešení} \]
c)   \[ x = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} \]
d)   \[ x = -1 + \sqrt{17} \]
e)   \[ x = \frac{9}{4} \]
f)   \[ x = 200 \]

8. Determinant matice

Spočítejte determinant matice:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( \text{det}(A) = -71 \)
b)   \( \text{det}(B) = 26 \)

9. Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

Pomocí Gaussovy eliminace řešte soustavy rovnic:
a)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \]
b)   \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 3 \\ 6 & 9 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]
c)   \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
d)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 15 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 1 \)
b)   \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \)
c)   \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = 2 \)
d)   Nemá řešení.

10. Derivace složených funkcí

Určete derivace následujících funkcí:
a)   \( f_1(x) = \sin(3x^2) \)
b)   \( f_2(x) = \ln(\cos(x^2)) \)
c)   \( f_3(x) = e^{x^3} \)
d)   \( f_4(x) = \sqrt{2x^5 + 1} \)
e)   \( f_5(x) = \tan(\ln(x)) \)
f)   \( f_6(x) = \frac{1}{x^2 + e^{2x}} \)
g)   \( f_7(x) = \sin(\sqrt{x}) \)
h)   \( f_8(x) = \frac{\ln(x)}{x^3} \)
Řešení
a)   \[ f_1'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x \]
b)   \[ f_2'(x) = -2x \cdot \tan(x^2)\]
c)   \[ f_3'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 \]
d)   \[ f_4'(x) = \frac{5x^4}{\sqrt{2x^5 + 1}} \]
e)   \[ f_5'(x) = \frac{1}{x \cdot \cos^2(\ln(x))} \]
f)   \[ f_6'(x) = -\frac{2x + 2e^{2x}}{(x^2 + e^{2x})^2} \]
g)   \[ f_7'(x) = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]
h)   \[ f_8'(x) = \frac{1 - 3\ln(x)}{x^4} \]

11. Derivace polynomů

Určete derivace funkcí:
a)   \( f_1(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 7 \)
b)   \( f_2(x) = -2x^5 + 4x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x \)
c)   \( f_3(x) = 5x^3 - 7x^2 + x - 8 \)
d)   \( f_4(x) = -x^5 + 3x^4 - 2x^2 + x - 4 \)
e)   \( f_5(x) = 6x^4 - 5x^3 + 4x - 9 \)
f)   \( f_6(x) = -4x^5 + x^3 - 3x^2 + 7x \)
g)   \( f_7(x) = 3x^4 - x^2 + 2x - 1 \)
h)   \( f_8(x) = 5x^5 - 3x^4 + x^2 - 6 \)
Řešení
a)   \( f'_1(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x - 1 \)
b)   \( f'_2(x) = -10x^4 + 16x^3 - 3x^2 + 12x - 3 \)
c)   \( f'_3(x) = 15x^2 - 14x + 1 \)
d)   \( f'_4(x) = -5x^4 + 12x^3 - 4x + 1 \)
e)   \( f'_5(x) = 24x^3 - 15x^2 + 4 \)
f)   \( f'_6(x) = -20x^4 + 3x^2 - 6x + 7 \)
g)   \( f'_7(x) = 12x^3 - 2x + 2 \)
h)   \( f'_8(x) = 25x^4 - 12x^3 + 2x \)

12. Průsečík lineárních funkcí

Určete průsečík grafů lineárních funkcí:
a)   \( f_1(x) = 4x - 3 \), \( f_2(x) = -x + 2 \)
b)   \( f_1(x) = 4x - 1 \), \( f_2(x) = 2x + 5 \)
c)   \( f_1(x) = 3x + 2 \), \( f_2(x) = 3x + 5 \)
d)   \( f_1(x) = -x + 4 \), \( f_2(x) = 2x - 2 \)
e)   \( f_1(x) = -10x - 14 \), \( f_2(x) = -10x - 14 \)
f)   \( f_1(x) = x - 3 \), \( f_2(x) = -2x + 1 \)
g)   \( f_1(x) = -3x + 6 \), \( f_2(x) = x + 2 \)
h)   \( f_1(x) = 2x - 4 \), \( f_2(x) = -x + 5 \)
Řešení
a)   [1, 1]
b)   [3, 11]
c)   nemá řešení
d)   [2, 2]
e)   nekonečně mnoho řešení
f)   [ \(\frac{4}{3}\), \(-\frac{5}{3}\) ]
g)   [1, 3]
h)   [3, 2]

13. Logaritmické rovnice

Vyřešte logaritmické rovnice:
a)   \[ \log_3 (x + 2) = 2 \]
b)   \[ \log_5 (2x - 1) = 3 \]
c)   \[ \log_2 (3x + 4) = 4 \]
d)   \[ \log_4 (5x - 3) = 2 \]
e)   \[ \log_7 (x^2 - 1) = 1 \]
f)   \[ \log_6 (2x + 5) = 0 \]
g)   \[ \log_9 (4x - 7) = 2 \]
h)   \[ \log_{10} (x + 9) = 1 \]
Řešení
a)   \( x = 7 \)
b)   \( x = 63 \)
c)   \( x = 4 \)
d)   \( x = 3.8 \)
e)   \( x = 2\sqrt{2} \) nebo \( x = -2\sqrt{2} \)
f)   \( x = -2 \)
g)   \( x = 22 \)
h)   \( x = 1 \)

14. Exponenciální rovnice počítané substitucí

Vypočítej exponenciální rovnice v oboru reálných čísel:
a)   \[ 2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \]
b)   \[ 3^{2x} + 2 \cdot 3^x - 8 = 0 \]
c)   \[ 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \]
d)   \[ 4^{2x} - 8 \cdot 4^x + 16 = 0 \]
e)   \[ 9^{2x} - 7 \cdot 9^x + 12 = 0 \]
f)   \[ 7^{2x} - 13 \cdot 7^x + 42 = 0 \]
g)   \[ 6^{2x} - 5 \cdot 6^x - 6 = 0 \]
h)   \[ 10^{2x} + 3 \cdot 10^x - 4 = 0 \]
Řešení
a)   \( x = 0 \) nebo \( x = 1 \)
b)   \( x = \log_3 2 \)
c)   \( x = 1 \) nebo \( x = 0 \)
d)   \( x = 1 \)
e)   \( x = \frac{1}{2} \) nebo \( x = \log_9 4 \)
f)   \( x = \log_7 6 \) nebo \( x = 1 \)
g)   \( x = 1 \)
h)   \( x = 0 \)

15. Plocha pod křivkou

Najděte obsah plochy pod křivkou:
a)   \( f(x) = 0.3x^2 + 0.2x - 0.2 \) v intervalu od \( x = 1 \) do \( x = 4 \),
b)   \( f(x) = e^{-x} + 2 \) v intervalu od \( x = 0 \) do \( x = 2 \).
Řešení
a)   Obsah plochy je \( 7.2 \) jednotek čtverečních.
b)   Obsah plochy je přibližně \( 4.8647 \) jednotek čtverečních.

16. Determinant matic

Určete determinant matice:
a)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
c)   \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]
d)   \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 5 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
e)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]
f)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   0
b)   3
c)   0
d)   -33
e)   16
f)   0

17. Průsečík dvou rovin

Jsou dány dvě roviny:

\( x + y - z = 0 \)

\( -2x + y - z + 3 = 0 \)

Určete průsečík těchto rovin.
Řešení
Průsečíkem rovin je přímka \( x + y - z = 0 \) a \( -2x + y - z + 3 = 0 \).

18. Řešení soustavy Gaussovou eliminací

Je dána soustava rovnic o 4 neznámých

\[ \begin{aligned} 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 4x_4 &= 10 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 - 3x_4 &= -5 \\ 4x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 &= 12 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 &= 7 \end{aligned} \]

Ověřte Frobeniovu podmínku a soustavu vyřešte pomocí Gaussovy eliminační metody.
Řešení
\( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 3 \), \( x_4 = -2 \)

19. Hodnost matic 1

Určete hodnost následujících matic:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   Hodnost 2, matice je singulární.
b)   Hodnost 3, matice je regulární.
c)   Hodnost 1, matice je singulární.
d)   Hodnost 3, matice je regulární.
e)   Hodnost 3, matice je regulární.
f)   Hodnost 2, matice je singulární.

20. Body na jedné přímce

Rozhodněte, zda tři body leží na jedné přímce, nebo ne.
a)   A[1; 2], B[2; 4], C[3; 6]
b)   A[0; 0], B[1; 3], C[2; 5]
c)   A[-1; 2], B[0; 0], C[2; -4]
d)   A[1; 1], B[2; 3], C[4; 5]
e)   A[0; 1], B[2; 3], C[4; 5]
f)   A[2; -1], B[4; 1], C[6; 3]
Řešení
a)   1
b)   0
c)   1
d)   0
e)   1
f)   0
 
12345