Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 81–100 / 179

Linkový autobus jezdí mezi místy A a B. Jestliže zvýší svoji průměrnou rychlost o 5 km/h, zkrátí se jízdní doba o 20 minut. Sníží-li svou původní rychlost o 4 km/h, prodlouží se doba jízdy o 20 minut.

Vypočítejte:

a) jaká je průměrná rychlost autobusu,

b) jaká je jízdní doba autobusu,

c) jaká je délka jeho trasy.

Řešení

a) Průměrná rychlost autobusu je 40 km/hod.

b) Jízdní doba autobusu je 3 hodiny.

c) Délka trasy je 120 kilometrů.

82. Rozměry lichoběžníku

Jedna ze základen lichoběžníku je o pětinu větší než jeho výška, druhá je větší o 1 cm. Plocha lichoběžníku 115 cm².

Vypočítejte základny a výšku lichoběžníku.

Řešení

Rozměry lichoběžníku jsou delší základna a =12 cm, kratší základna c = 11 cm, v = 10 cm.

83. Zvětšený kruh

Poloměr kruhu byl zvětšen o 2 cm a tím se zvětšil jeho obsah o 40 $\pi$ cm².

Vypočítejte poloměr kruhu před zvětšením.

Řešení

Poloměr kruhu před zvětšením byl 9 cm.

84. Rozměry pole

Pole má jednu stranu o polovinu delší než druhou. Plocha pole je 96 hektarů.

Určete rozměry pole.

Řešení

Kratší strana pole měří 800 metrů, delší strana pole měří 1 200 metrů.

85. Zlevnění pamětí do počítače

Cena pamětí do počítače během roku dvakrát klesla o stejné procento tak, že se

z 5200 Kč snížila na 3757 Kč.

Vypočítejte, o kolik procent se cena pokaždé snížila.

Řešení

Cena se pokaždé snížila o 15 %.

86. Počet úhlopříček

Určete vztah na výpočet počtu úhlopříček v konvexním n-úhelníku.

Řešení

$\frac{n \cdot \left (n-3 \right )}{2}$

87. Rozměry pokoje

Pokoj ve tvaru obdélníku má plochu 30 m², jedna strana je o 1 m delší než druhá.

Vypočítejte rozměry pokoje.

Řešení

Delší strana pokoje měří 6 a kratší 5 m.

88. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

c) $y=\left |1+\frac{x}{2}\right |-\left |x\right |-\left |1-\frac{2x}{3}\right |+2$

Řešení

89. Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Načrtněte graf funkce:

a) $y=\left |x^{2}+2x-3\right |$

b) $y=\left |\frac{1}{2}x^{2}-1\right |-\left |x\right |$

c) $y=x^{2}-\left |x^{2}-3\right |$

Řešení

90. Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

a) $y=\left (\frac{x}{4}\right )^{2}-\left |\left(\frac{x}{2}+1\right )^{2}-1\right |$

b) $y=\left |\left (x-1\right )^{2}-1\right |-\left(\frac{x}{2}\right )^{2}$

c) $y=\left |x^{2}-x-2\right |-x^{2}$

Řešení

91. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

a) $y=\left |4-2x\right |+x-1$

b) $y=\left |x-2\right |-2$

c) $y=\frac{x}{2}+3-\left |x-2\right |$

d) $y=2x-3-\left |x-2\right |$

Řešení

92. Průměry tří čísel

Jsou dána tři navzájem různá čísla. Průměr průměru dvou menších čísel a průměr dvou větších čísel je roven průměru všech tří čísel. Průměr nejmenšího a největšího čísla je 2 022

Určete součet tří daných čísel.

Řešení

Součet tří daných čísel je 6 066.

93. Kvadratické nerovnice

Řešte v R nerovnice:

a) $x^{2}+13x+36\geq0$

b) $x^{2}-14x+45\leq0$

c) $x^{2}-5x\leq0$

d) $x^{2}+7x+12>0$

e) $x^{2}+4x-45<0$

f) $x^{2}-16<0$

g) $x^{2}+8x+16<0$

h) $x^{2}+20x+100\geq0$

Řešení

a) $x \in \left ( -\infty; -9\right \rangle \cup \left \langle-4; \infty; \right )$

b) $x \in \left \langle 5; 9 \right \rangle$

c) $x \in \left \langle 0; 5 \right \rangle$

d) $x \in \left ( -\infty; -4\right ) \cup \left (-3; \infty; \right )$

e) $x \in \left ( -9; 5 \right )$

f) $x \in \left ( -4; 4 \right )$

g) nemá řešení v R

h) $x \in \left ( -\infty; \infty; \right )$

94. Funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce.

a) $y=\left | x-4 \right |-\left | x-4 \right |+x$

b) $y=\left | 4-x \right |-\left | 2-x \right |$

c) $y=\left | -x \right |-\left | 2-\frac{x}{2} \right |$

d) $y=\left | x-4 \right |+\left | x \right |-6$

Řešení

95. Rovnice funkce

Jsou dány dva body.

Určete rovnici lineární funkce procházející těmito body.

a) A[–2;–5], B[2;1]

b) A[–4;1], B[3;1]

c) A[–3;6], B[6;3]

d) A[–1;4], B[2;7]

e) A[–1;–7], B[4;3]

f) A[–1;–2], B[–1;0]

g) A[-3;6], B[0;3]

h) A[–1;–3], B[2;6]

Řešení

a) $y=\frac{3}{2}x-2$

b) $y=1$

c) $y=-\frac{x}{3}+5$

d) $y=x+5$

e) $y=2x-5$

f) nemá řešení

g) $y=-x+3$

h) $y=3x$

96. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = 2x+3$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;3 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [-\frac{3}{2};0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.$

97. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = \frac{1}{2}x-2$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-2 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [4;0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=2x+4.$

98. Body kvadratické funkce

Je dána funkce $y = x^2 - 4x + 3$ .

Určete všechna reálná čísla z tak, aby platilo g(x) = g(-2).

Řešení

x = –2 a x = 6

99. Jízda automobilu po okruhu

Automobil projel jeden okruh neznámou stálou rychlostí, další dva stejné okruhy stálou rychlostí 72 km/hod. Celková průměrná rychlost byla 36 km/hod.

Určete rychlost, kterou automobil projel poprvé okruh.

Řešení

Automobil projel poprvé okruh rychlostí 18 km/hod.

100. Logaritmické rovnice

Vyřešte logaritmické rovnice:

a) $\log \left (2x + 8 \right ) = 2$

b) $\log_{6} \left (2x + 8 \right ) = 2$

c) $\log_{4} \left (2x + 8 \right ) = 2$

d) $\log_{\frac{1}{3}} \left (2x + 8 \right ) = 2$

e) $\log \left (9 - x \right ) = 2$

f) $\log_{6} \left (9 - x \right ) = 2$

g) $\log_{2} \left (9 - x \right ) = 2$

h) $\log_{\frac{1}{3}} \left (9 - x \right ) = 2$

Řešení

a) $x=46$

b) $x=14$

c) $x=4$

d) $x=-\frac{71}{18}$

e) $x=-91$

f) $x=-27$

g) $x=5$

h) $x=\frac{80}{9}$

3 456 7

Střední škola

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení