Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 81–100 / 151

Přehled ročníků

81. Kvadratická funkce

Je dána kvadratická funkce f: $y = x^2-2x-8$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) vrchol paraboly

f) zda je funkce f sudá nebo lichá

g) v kterých intervalech funkce f roste

h) v kterých intervalech funkce f klesá

i) zda je funkce f prostá

j) inverzní funkci k funkci f

k) načrtněte graf paraboly

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= \left \langle -9; \infty \right )$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-8 \right ]$

d) Průsečíky s osou x jsou $P_{x1} \left [-2;0 \right ]; P_{x2} \left [4;0 \right ]$

e) Vrchol paraboly je $V \left [1;-9 \right ]$

f) Funkce f není ani sudá ani lichá

g) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( 1; \infty \right )$

h) Funkce f je klesající v intervalu $\left ( -\infty; 1 \right )$

i) Funkce f není prostá.

j) Inverzní funkce k funkci f neexistuje.

k)

Graf funkce

82. Exponenciální rovnice

Řešte rovnice

a) $\frac{625^{1-x}\cdot 25^{x-1}}{3125^{x}}=5\cdot \frac{1}{5^{6x}}$

b) $0,25^{2-x}=\frac{256}{2^{x+3}}$

c) $\left (\frac{1}{8}\right )^{-x}=\left (\frac{1}{32}\right )^{1-x}$

d) $3^{2x-3}-9^{x-1}+27^{\frac{2x}{3}}=675$

e) $3 \cdot 3^{2x+1}=3^{x+2}-1-6\cdot 3^{x}+3^{2(x+1)}$

f) $6^{x}-4\cdot 3^{x}=3\cdot 2^{x}-12$

Řešení

a) $K=\left \{ 1 \right \}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}$

c) $K=\left \{ \frac{5}{2} \right \}$

d) $K=\left \{ 3 \right \}$

e) $K=\left \{ -1 \right \}$

f) $K=\left \{ 1;2 \right \}$

83. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice v R

a) $x^2-4x-21 \geq 0$

b) $x^2-36 \leq 0$

c) $-x^2+x+20 > 0$

d) $x^2-6x+9 < 0$

e) $x^2+1 \geq 0$

f) $-x^2-5 \leq 0$

g) $x^2-2x+1 \leq 0$

h) $2x^2+5x-3 \geq 0$

Řešení

a) $x \in \left ( - \infty ; -3 \right \rangle \cup \left \langle 7; \infty \right )$

b) $x \in \left \langle -6; 6 \right \rangle$

c) $x \in \left ( -4; 5 \right )$

d) nemá řešení v R

e) $x \in \left ( -\infty; \infty \right )$

f) $x \in \left ( -\infty; \infty \right )$

g) $x = 1$

h) $x \in \left ( - \infty ; -3 \right \rangle \cup \left \langle \frac{1}{2}; \infty \right )$

84. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\left (2x - 2 \right )^2-3x \left (x-3 \right ) \leq 19-x$

b) $\left (2 - 3x \right ) - \left (x - 1 \right ) \geq - 4 - \left (x-1 \right )^2$

c) $-2 \left (x^2 - 1 \right ) + 2 \left (1 - x \right ) - 5 \leq 0$

d) $x^2 - 3x + 7 > 5x + 16$

e) $x^2-\left (x - 1 \right )^2 > x \left (x - 1 \right ) + 1$

f) $\left (x + 1 \right )^2 - 2 \left (x + 1 \right ) + 1 \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle -5; 3 \right \rangle$

b) $x \in \left ( - \infty ; 2 \right \rangle \cup \left \langle 4; \infty \right )$

c) $x \in \left ( - \infty ; \infty \right )$

d) $x \in \left ( - \infty ; -1 \right ) \cup \left ( 9; \infty \right )$

e) $x \in \left ( 1 ; 2 \right )$

f) $x \in \left \{0\right \}$

85. Graf kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce prochází body A[1;1], B[3;-1] a C[1;2].

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.

Řešení

$y=2,5x^{2}-9,5x+8$

86. Nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\frac{2x-3}{3}+\frac{3x-2}{2}\geq\frac{1}{6}$

b) $\frac{2x+1}{3}<\frac{2x-1}{5}$

c) $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+6}{2}<0$

d) $\frac{x+1}{4}-\frac{x-1}{2}-3<\frac{2x-1}{2}$

e) $\frac{2x-17}{4}-\frac{8-x}{2}-2\leq x-4+\frac{x}{8}$

f) $\frac{x-5}{3}+2\leq \frac{2-x}{5}$

Řešení

a) $x \in \left \langle 1;\infty \right )$

b) $x \in \left (-\infty; -2 \right )$

c) $x \in \left (-\infty; 20 \right )$

d) $x \in \left (-\frac{7}{5}; \infty \right )$

e) $x \in \left \langle -50;\infty \right )$

f) $x \in \left (-\infty; \frac{1}{8} \right \rangle$

87. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{11+3x}{x+3}-\frac{5x}{x-4}+\frac{x}{x^{2}-x-12}+2=0$

b) $\frac{1}{x+4}+\frac{x^{2}-20}{x^{2}-16}=1$

c) $\frac{2x}{x+3}-\frac{2x}{x-3}=\frac{72}{4x^{2}-36}$

d) $\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{8x}{1-4x^{2}}$

Řešení

a) $K=\left \{ -4 \right \}; x\neq -3\vee x\neq 4$

b) $K=\left \{ 8 \right \}; x\neq \pm{4}$

c) $K=\left \{ -\frac{3}{2} \right \}; x\neq \pm{3}$

d) $K=\left \{ 1 \right \}; x\neq \pm{\frac{1}{2}}$

88. Rovnice

Řešte rovnici a určete, pro jaké x nemá rovnice smysl.

$\frac{12x^{2}+30x-21}{16x^{2}-9}=\frac{3x-7}{3-4x}+\frac{6x+5}{4x+3}$

Řešení

$K=\left \{ 3 \right \}; x\neq \pm{\frac{3}{4}}$

89. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $x-3+\frac{1}{x-2}=x-4-\frac{2x-3}{2-x}$

b) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{x^{2}+6}$

c) $\frac{5}{2x-3}-\frac{3x-8}{4x-6}=\frac{7}{9}-\frac{6x-1}{10x-15}$

d) $\frac{5}{2x-3}+\frac{3x+8}{4x-6}=\frac{7}{6}-\frac{6x-2}{10x-15}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq \2$

b) $K=\left \{ -12 \right \}; x\neq 3\vee x\neq -2$

c) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

d) $K=\left \{ -33 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

90. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $5+\frac{3}{3x-12}=\frac{5-x}{x-4}$

b) $\frac{7x+2}{3x-2}-\frac{9}{4-6x}=\frac{10x-4}{9x-6}-\frac{1}{16}$

c) $\frac{4}{(x-1)(x+3)}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x+3}$

d) $\frac{3}{(2x+5)^{2}}+\frac{4}{(2x+1)^{2}}=\frac{7}{(2x+5)(2x+1)}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq 4$

b) $K=\left \{ -2 \right \}; x\neq \frac{2}{3}$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq -1\vee x\neq -3$

d) $K=\left \{ -\frac{17}{2} \right \}; x\neq -\frac{5}{2}\vee x\neq-\frac{1}{2}$

91. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{2}{(1-3x)(3x+11)}=\frac{1}{(3x-1)^{2}}-\frac{3}{(3x+11)^{2}}$

b) $\frac{1}{x-2}-\frac{x-3}{x+4}=\frac{6}{x^{2}+2x-8}-1$

c) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{2}{x+2}-1=\frac{6}{x^{2}+x-2}$

d) $1+\frac{2x}{x+4}-\frac{15}{2x^{2}+7x-4}=\frac{6x}{2x-1}$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{2}{3} \right \}; x\neq \frac{1}{3}\vee x\neq -\frac{11}{3}$

b) $K=\left \{ \right \}; x\neq 2\vee x\neq -4$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq 1\vee x\neq -2$

d) $K=\left \{ -1 \right \}; x\neq -4\vee x\neq\frac{1}{2}$

92. Nerovnice

Řešte nerovnice v R

a) $\frac{2x-3}{4}+\frac{x}{2}<1$

b) $\frac{2x-1}{2}-23<2x-20$

c) $\frac{3x-1}{4}+\frac{5-6x}{2}\leq 9+\frac{3x}{2}$

d) $3(x+2)+\frac{x-2}{2}<0$

e) $3(x-2)+\frac{x-2}{2}\geq0$

f) $\frac{3x-1}{4}-\frac{4x-1}{6}<\frac{1}{2}$

Řešení

a) $x \in \left ( -\infty; \frac{7}{4} \right )$

b) $x \in \left ( -\frac{7}{2};\infty \right )$

c) $x \in \left \langle -\frac{9}{5};\infty \right )$

d) $x \in \left ( -\infty; -\frac{10}{7} \right )$

e) $x \in \left \langle 2;\infty \right )$

f) $x \in \left ( -\infty; 7 \right )$

93. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{3x+1}{5x-2}=\frac{2(3x+14)}{5(2x+7)}$

b) $\frac{x+1}{x+3}=\frac{x+5}{x+9}$

c) $\frac{3}{2}-\frac{10+x}{2x}=0$

d) $\frac{2x+3}{4x-5}+\frac{2-x}{5-4x}=1$

Řešení

a) $K=\left \{ 7 \right \}; x\neq \frac{2}{5}\vee x\neq -\frac{7}{2}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}; x\neq -3\vee x\neq -9$

c) $K=\left \{ 5 \right \}; x\neq 0$

d) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{5}{4}$

94. Střed úsečky

Jsou dány dva body A[a₁, 4] a B[7, -2]. Úsečka AB má střed, kde jsou obě souřadnice stejné.

Vypočítejte souřadnici a₁.

Řešení

a₁ = -5

95. Aritmetická posloupnost

V aritmetické posloupnosti je dáno a₁=4, S_n=589, d=3.

Vypočtěte, kolik členů má aritmetická posloupnost.

Řešení

Aritmetická posloupnost má 19 členů.

96. Červené a bílé kuličky

Máme 15 červených a 5 bílých kuliček.

Vypočítejte v procentech, jaká je pravděpodobnost, že první vytažená kulička bude bílá.

Řešení

Pravděpodobnost, že první vytažená kulička bude bílá, je 25 %.

97. Pěticiferná čísla

Jsou dané cifry 0, 1, 3, 4, 7.

Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, v nichž je každá z číslic alespoň jednou obsažena.

Řešení

Jde o 2 500 čísel.

98. Počet čísel

Určete počet všech přirozených čísel větších než 2 000 , ve kterých se vyskytují číslice 1, 2, 4, 6, 8, a to každá nejvíce jednou.

Řešení

216

99. Počet přirozených čísel

Určete počet všech přirozených čísel větších než 200, ve kterých se vyskytují číslice 1, 2, 4, 6, 8, a to každá nejvíce jednou.

Řešení

288

100. Rotace trojúhelníku

Rotační těleso vzniklo rotací rovnostranného trojúhelníku o délce strany a = 2 cm kolem jedné z jeho stran.

Vypočítejte objem tohoto rotačního tělesa. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)

Řešení

Objem je 6,28 cm³.