Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 81–100 / 145

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{11+3x}{x+3}-\frac{5x}{x-4}+\frac{x}{x^{2}-x-12}+2=0$

b) $\frac{1}{x+4}+\frac{x^{2}-20}{x^{2}-16}=1$

c) $\frac{2x}{x+3}-\frac{2x}{x-3}=\frac{72}{4x^{2}-36}$

d) $\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{8x}{1-4x^{2}}$

Řešení

a) $K=\left \{ -4 \right \}; x\neq -3\vee x\neq 4$

b) $K=\left \{ 8 \right \}; x\neq \pm{4}$

c) $K=\left \{ -\frac{3}{2} \right \}; x\neq \pm{3}$

d) $K=\left \{ 1 \right \}; x\neq \pm{\frac{1}{2}}$

82. Rovnice

Řešte rovnici a určete, pro jaké x nemá rovnice smysl.

$\frac{12x^{2}+30x-21}{16x^{2}-9}=\frac{3x-7}{3-4x}+\frac{6x+5}{4x+3}$

Řešení

$K=\left \{ 3 \right \}; x\neq \pm{\frac{3}{4}}$

83. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $x-3+\frac{1}{x-2}=x-4-\frac{2x-3}{2-x}$

b) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{x^{2}+6}$

c) $\frac{5}{2x-3}-\frac{3x-8}{4x-6}=\frac{7}{9}-\frac{6x-1}{10x-15}$

d) $\frac{5}{2x-3}+\frac{3x+8}{4x-6}=\frac{7}{6}-\frac{6x-2}{10x-15}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq \2$

b) $K=\left \{ -12 \right \}; x\neq 3\vee x\neq -2$

c) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

d) $K=\left \{ -33 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

84. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $5+\frac{3}{3x-12}=\frac{5-x}{x-4}$

b) $\frac{7x+2}{3x-2}-\frac{9}{4-6x}=\frac{10x-4}{9x-6}-\frac{1}{16}$

c) $\frac{4}{(x-1)(x+3)}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x+3}$

d) $\frac{3}{(2x+5)^{2}}+\frac{4}{(2x+1)^{2}}=\frac{7}{(2x+5)(2x+1)}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq 4$

b) $K=\left \{ -2 \right \}; x\neq \frac{2}{3}$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq -1\vee x\neq -3$

d) $K=\left \{ -\frac{17}{2} \right \}; x\neq -\frac{5}{2}\vee x\neq-\frac{1}{2}$

85. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{2}{(1-3x)(3x+11)}=\frac{1}{(3x-1)^{2}}-\frac{3}{(3x+11)^{2}}$

b) $\frac{1}{x-2}-\frac{x-3}{x+4}=\frac{6}{x^{2}+2x-8}-1$

c) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{2}{x+2}-1=\frac{6}{x^{2}+x-2}$

d) $1+\frac{2x}{x+4}-\frac{15}{2x^{2}+7x-4}=\frac{6x}{2x-1}$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{2}{3} \right \}; x\neq \frac{1}{3}\vee x\neq -\frac{11}{3}$

b) $K=\left \{ \right \}; x\neq 2\vee x\neq -4$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq 1\vee x\neq -2$

d) $K=\left \{ -1 \right \}; x\neq -4\vee x\neq\frac{1}{2}$

86. Nerovnice

Řešte nerovnice v R

a) $\frac{2x-3}{4}+\frac{x}{2}<1$

b) $\frac{2x-1}{2}-23<2x-20$

c) $\frac{3x-1}{4}+\frac{5-6x}{2}\leq 9+\frac{3x}{2}$

d) $3(x+2)+\frac{x-2}{2}<0$

e) $3(x-2)+\frac{x-2}{2}\geq0$

f) $\frac{3x-1}{4}-\frac{4x-1}{6}<\frac{1}{2}$

Řešení

a) $x \in \left ( -\infty; \frac{7}{4} \right )$

b) $x \in \left ( -\frac{7}{2};\infty \right )$

c) $x \in \left \langle -\frac{9}{5};\infty \right )$

d) $x \in \left ( -\infty; -\frac{10}{7} \right )$

e) $x \in \left \langle 2;\infty \right )$

f) $x \in \left ( -\infty; 7 \right )$

87. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{3x+1}{5x-2}=\frac{2(3x+14)}{5(2x+7)}$

b) $\frac{x+1}{x+3}=\frac{x+5}{x+9}$

c) $\frac{3}{2}-\frac{10+x}{2x}=0$

d) $\frac{2x+3}{4x-5}+\frac{2-x}{5-4x}=1$

Řešení

a) $K=\left \{ 7 \right \}; x\neq \frac{2}{5}\vee x\neq -\frac{7}{2}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}; x\neq -3\vee x\neq -9$

c) $K=\left \{ 5 \right \}; x\neq 0$

d) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{5}{4}$

88. Střed úsečky

Jsou dány dva body A[a₁, 4] a B[7, -2]. Úsečka AB má střed, kde jsou obě souřadnice stejné.

Vypočítejte souřadnici a₁.

Řešení

a₁ = -5

89. Aritmetická posloupnost

V aritmetické posloupnosti je dáno a₁=4, S_n=589, d=3.

Vypočtěte, kolik členů má aritmetická posloupnost.

Řešení

Aritmetická posloupnost má 19 členů.

90. Červené a bílé kuličky

Máme 15 červených a 5 bílých kuliček.

Vypočítejte v procentech, jaká je pravděpodobnost, že první vytažená kulička bude bílá.

Řešení

Pravděpodobnost, že první vytažená kulička bude bílá, je 25 %.

91. Pěticiferná čísla

Jsou dané cifry 0, 1, 3, 4, 7.

Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, v nichž je každá z číslic alespoň jednou obsažena.

Řešení

Jde o 2 500 čísel.

92. Počet čísel

Určete počet všech přirozených čísel větších než 2 000 , ve kterých se vyskytují číslice 1, 2, 4, 6, 8, a to každá nejvíce jednou.

Řešení

216

93. Počet přirozených čísel

Určete počet všech přirozených čísel větších než 200, ve kterých se vyskytují číslice 1, 2, 4, 6, 8, a to každá nejvíce jednou.

Řešení

288

94. Rotace trojúhelníku

Rotační těleso vzniklo rotací rovnostranného trojúhelníku o délce strany a = 2 cm kolem jedné z jeho stran.

Vypočítejte objem tohoto rotačního tělesa. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)

Řešení

Objem je 6,28 cm³.

200 studentů dělalo zkoušky z češtiny, matematiky a fyziky. 114 studentů složilo zkoušku z češtiny, 50 studentů udělalo zkoušku z matematiky a 41 studentů udělalo zkoušku z fyziky. Zkoušku z češtiny i matematiky udělalo 14 studentů, z matematiky i fyziky 15 studentů a z češtiny i fyziky 11 studentů. Všechny tři zkoušky udělalo 5 studentů.

Vypočítejte, kolik studentů neudělalo ani jednu zkoušku.

Řešení

Ani jednu zkoušku neudělalo 45 studentů.

96. Taneční

Do taneční přišlo 32 chlapců a 34 dívek.

Vypočítejte, kolik různých tanečních párů mohou vytvořit.

Řešení

Mohou vytvořit 1 088 tanečních párů.

97. Myšlené přirozené číslo

Určete nejmenší přirozené číslo $ x $ takové, že $ 2x $ je druhá mocnina přirozeného čísla a $ 3x $ je třetí mocnina přirozeného čísla.

Řešení

x = 72

98. Obsah trojúhelníku

Je dán trojúhelník ABC. Jeho obvod je 30 cm, přičemž strana a je o 2 cm delší než strana b a o 5 cm kratší než strana c.

Určete obsah trojúhelníku v cm² a zaokrouhlete na dvě desetinná místa.

Řešení

Obsah trojúhelníku 26,83 cm²

99. Seskok na Zemi a na Měsíci

Za bezpečný seskok je považován takový, při kterém člověk dopadne na zem maximální rychlostí 8 m/s. Zrychlení na Zemi je g = 10 ms^-2 a zrychlení na Měsíci je 6krát menší než na Zemi.

Určete v metrech maximální výšku, ze které lze bezpečně skočit na Zemi a na Měsíci. (Zaokrouhlete na jedno desetinné místo.)

Řešení

Na Zemi lze bezpečně skočit z výšky 3,20 m, na Měsíci z výšky 19,20 m.

100. Vnitřní úhly trojúhelníku

Na hodinovém ciferníku navzájem spojíme body u čísel 3, 10 a 12, čímž vznikne trojúhelník.

Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku.

Řešení

a) Velikost úhlu u čísla 3 je 30 °, u čísla

b) 10 je to 45 ° a u čísla 12 je to 105 °.

3 456 7

Střední škola

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení