Úlohy: 1–20 / 142

1. Kvadratická funkce zadaná třemi body

V kartézské soustavě souřadnic jsou dány body.

Určete předpis kvadratické funkce, která prochází body:
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   nemá řešení
d)   
e)   nekonečně mnoho řešení
f)   
g)   

2. Násobení zlomků s neznámou

Když sečteme zlomky a dostaneme stejný výsledek, jako když je vynásobíme.

Vypočítejte hodnotu x.
Řešení
Řešením je číslo 7.

3. Tisk papíru

Tiskárna vytiskne 5 stránek za p sekund.

Vypočítejte, kolik stránek vytiskne tiskárna za p minut.
Řešení
Za p minut vytiskne tiskárna 300 stránek.

4. Ukládání knih do knihovny

Lucie má 5 různých knih, z nichž 2 určité knihy chtějí být vedle sebe na polici.

Vypočítejte, kolika různými způsoby může Lucie uspořádat všech 5 knih na polici s tímto požadavkem.
Řešení
Lucie může naskládat knihy do knihovny 48 možnými způsoby.

5. Výběr filmů

Evžen si stáhl 5 různých filmů ale má čas si pustit pouze 3, je jedno v jakém pořadí.

Vypočítejte, kolika různými způsoby může Evžen vybrat filmy, které si pustí.
Řešení
Evžen může vybrat filmy 10 různými způsoby.

6. Cyklistická etapa

Tři cyklisté se absolvovali etapu po stejné trase. První cyklista jel průměrně o 6 kilometrů za hodinu rychleji než druhý a dojel do cíle o hodinu dříve. Naopak třetí cyklista jel průměrně o 6 kilometrů za hodinu pomaleji než druhý a dojel tak do cíle o 2 hodiny později.

Určete v kilometrech délku trasy.
Řešení
Trasa byla dlouhá 72 kilometrů.

7. Složení volejbalového týmu

U hřiště stojí 10 mužů a 8 žen.

Určete, kolika způsoby lze vybrat volejbalový tým (který má šest členů), s podmínkou, že:
a)   tým bude obsahovat právě dvě ženy,
b)   maximálně dvě ženy.
Řešení
a)   5 880 možností
b)   8 106 možností

8. Počet ťuknutí při přípitku

Na oslavě se sešlo 15 hostů. Při přípitku si každý s každým ťukl sklenicí právě jednou.

Vypočítejte, kolik zaznělo ťuknutí.
Řešení
Při přípitku zaznělo 105 ťuknutí.

9. Vzdálenosti bodů

Jsou dány dvojice bodů v rovině.

Určete vzdálenost bodů v každé dvojici.
a)   A[-4;3], B[4;-3]
b)   C[-2;1], D[2;10]
c)   E[2;-1], F[-5;1]
d)   G[4;-3], H[-5;5]
Řešení
a)   10
b)    sqrt(97)
c)    sqrt(53)
d)    sqrt(145)

10. Úhly v devítiúhelníku

Je dán pravidelný devítiúhelník ABCDEFGHI.

Vypočítejte všechny vnitřní úhly čtyřúhelníku ABEH.
Řešení

11. Průnik koule a roviny

Určete v cm2 obsah kruhu, který je průnikem koule K(O; 10 cm) a roviny, která je vzdálená od bodu O 6 cm. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)

Řešení
Obsah kruhu je 25,13 cm2.

12. Vystřižené rovnoramenné trojúhelníky

Jsou dány dva shodné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý má obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složíme rovnoběžník tak, že je k sobě přiložíme rameny. Poté z nich složíme kosočtverec tak, že je k sobě přiložíme základnami. Rovnoběžník má o 4 cm kratší obvod než kosočtverec.

Vypočítejte délky stran trojúhelníků.
Řešení
Základna má délku 32 cm, rameno má délku 34 cm.

13. Plnící linky v mlékárně

V mlékárně mají dvě linky pro plnění krabic mléka. Nová linka je o 50 % rychlejší, než stará linka. Když pracují obě linky současně, naplní běžné denní množství krabic mléka o 6 hodin dříve, než když pracovala pouze stará linka.

Vypočítejte, za jak dlouho naplní denní množství krabic mléka, bude-li pracovat:
a)   pouze stará linka,
b)   pouze nová linka,
c)   obě linky současně.
Řešení
a)   Bude-li pracovat pouze stará linka, naplní denní množství krabic za 10 hodin a 0 minut.
b)   Bude-li pracovat pouze nová linka, naplní denní množství krabic za 6 hodin a 40 minut.
c)   Budou-li pracovat obě linky současně, naplní denní množství krabic za 4 hodin a 0 minut.

14. Výška pravidelného čtyřbokého jehlanu

Pravidelný čtyřboký jehlan má objem 2 160 litrů a délku podstavné hrany 12 dm.

Vypočítejte výšku jehlanu.
Řešení
Výška jehlanu je 45 dm.

15. Pět hodů mincí

Vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že při hodu mincí 5× po sobě padne hlava. (Výsledek zapište ve tvaru zlomku.)
Řešení
Pravděpodobnost je .

16. Rozdělený pravidelný čtyřboký jehlan

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan s délkou podstavné hrany a = 15 cm a výškou v = 21 cm. Rovnoběžně s podstavou vedeme dvě roviny tak, že rozdělí výšku jehlanu na tři stejné části.

Vypočítejte poměr objemů vzniklých 3 těles od nejmenšího po největší.
Řešení
Poměr je 1:7:19.

17. Peníze Soni, Emy a Zuzany

Soňa a Ema mají dohromady 200 Kč, Ema a Zuzana mají dohromady 150 Kč, Soňa se Zuzanou mají dohromady 190 Kč.

Vypočítejte, kolik Kč má Soňa, kolik Ema a kolik Zuzana.
Řešení
Soňa má 120 Kč, Ema má 80 Kč a Zuzana má 70 Kč.

18. Kužel a válec

Rotační válec má objem 120 dm3. Rotační kužel má stejně velký objem i poloměr podstavy jako rotační válec.

Vypočítejte, o kolik procent je větší výška rotačního kužele než výška rotačního válce.
Řešení
Výška rotačního kužele je větší o 200 %.

19. Sladkosti v košíku

V košíku jsou lízátka, žvýkačky a bonbony. Počet lízátek a žvýkaček je v poměru 2:3, počet žvýkaček a bonbonů je v poměru 4:5. Bonbonů je o 15 méně než lízátek a žvýkaček dohromady.

Vypočítejte:
a)   kolik je v košíku lízátek,
b)   kolik je v košíku žvýkaček,
c)   kolik je v košíku bonbónů.
Řešení
a)   V košíku je 24 lízátek.
b)   V košíku je 36 žvýkaček.
c)   V košíku je 45 bonbónů.

20. Zvětšení stran obdélníku

Jedna strana obdélníku byla zvětšena o 20 % a druhá o 25 %.

Vypočítejte, o kolik procent se zvětšil obsah obdélníku.
Řešení
Obsah obdélníku se zvětšil o 50 %.