Úlohy: 1–20 / 111

1. Lineární rovnice

Vyřešte lineární rovnice
a)   \[ \frac{2x + 6}{4} = 3 \]
b)   \[ \frac{3x - 9}{6} = x - 2 \]
c)   \[ \frac{x + 5}{2} + \frac{x - 3}{4} = 3 \]
d)   \[ \frac{4x + 8}{6} = \frac{2x}{3} + 2\]
e)   \[ \frac{3x - 9}{4} = \frac{x + 3}{2}\]
f)   \[ \frac{5x + 15}{8} = \frac{3x}{4} + 1\]
Řešení
a)   \( x = 3 \)
b)   \( x = 1 \)
c)   \( x = 5 \)
d)   nemá řešení
e)   \( x = 15 \)
f)   \( x = 7 \)

2. Lineární rovnice

Vyřešte lineární rovnice a proveďte zkoušku:
a)   \( 2(x + 3) = 16 \)
b)   \( 5(x - 2) + 3 = 3x + 9 \)
c)   \( 4(x + 1) = 2(x + 7) \)
d)   \( 3(x - 5) - 2 = x - 4 \)
e)   \( 6(x + 2) = 6x + 15 \)
f)   \( 3(x + 4) - 2x = 6 \)
Řešení
a)   \( x = 5 \)
b)   \( x = 8 \)
c)   \( x = 5 \)
d)   \( x = 6.5 \)
e)   nemá řešení
f)   \( x = -6 \)

3. Logaritmické rovnice

Vyřešte logaritmické rovnice:
a)   \[ \log_3 (x + 2) = 2 \]
b)   \[ \log_5 (2x - 1) = 3 \]
c)   \[ \log_2 (3x + 4) = 4 \]
d)   \[ \log_4 (5x - 3) = 2 \]
e)   \[ \log_7 (x^2 - 1) = 1 \]
f)   \[ \log_6 (2x + 5) = 0 \]
g)   \[ \log_9 (4x - 7) = 2 \]
h)   \[ \log_{10} (x + 9) = 1 \]
Řešení
a)   \( x = 7 \)
b)   \( x = 63 \)
c)   \( x = 4 \)
d)   \( x = 3.8 \)
e)   \( x = 2\sqrt{2} \) nebo \( x = -2\sqrt{2} \)
f)   \( x = -2 \)
g)   \( x = 22 \)
h)   \( x = 1 \)

4. Exponenciální rovnice počítané substitucí

Vypočítej exponenciální rovnice v oboru reálných čísel:
a)   \[ 2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \]
b)   \[ 3^{2x} + 2 \cdot 3^x - 8 = 0 \]
c)   \[ 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \]
d)   \[ 4^{2x} - 8 \cdot 4^x + 16 = 0 \]
e)   \[ 9^{2x} - 7 \cdot 9^x + 12 = 0 \]
f)   \[ 7^{2x} - 13 \cdot 7^x + 42 = 0 \]
g)   \[ 6^{2x} - 5 \cdot 6^x - 6 = 0 \]
h)   \[ 10^{2x} + 3 \cdot 10^x - 4 = 0 \]
Řešení
a)   \( x = 0 \) nebo \( x = 1 \)
b)   \( x = \log_3 2 \)
c)   \( x = 1 \) nebo \( x = 0 \)
d)   \( x = 1 \)
e)   \( x = \frac{1}{2} \) nebo \( x = \log_9 4 \)
f)   \( x = \log_7 6 \) nebo \( x = 1 \)
g)   \( x = 1 \)
h)   \( x = 0 \)

5. Peníze tří dívek

Nela, Olga a Petra mají celkem 7 500 korun. Olga má dvakrát víc než Nela. Kdyby měla Petra o 500 korun víc, měla by stejně jako Olga.

Vypočítejte, kolik korun má:
a)   Nela,
b)   Olga,
c)   Petra.
Řešení
a)   Nela má 1600 korun,
b)   Olga má 3200 korun,
c)   Petra má 2700 korun.

6. Jahodové a smetanové nanuky

V prodejně měli jen jahodové a smetanové nanuky. Jahodových nanuků bylo v prodejně o třetinu více než smetanových nanuků. Celkem měli v prodejně 420 nanuků.

Určete, kolik bylo v prodejně:
a)   jahodových nanuků,
b)   smetanových nanuků.
Řešení
a)   V prodejně bylo 240 jahodových nanuků
b)   a 180 smetanových nanuků.

7. Kuličky v sáčku

V sáčku jsou jen červené a modré kuličky. Modrých kuliček je 120 a červených je o čtvrtinu více než modrých.

Vypočítejte, kolik je v sáčku celkem kuliček.
Řešení
V sáčku je tedy celkem 270 kuliček.

8. Paření na mobilu

Karel pařil na telefonu o 240 minut více než Libor, takže pařil 3krát více času.

Vypočítejte, kolik minut pařil Libor.
Řešení
Libor tedy pařil 120 minut.

9. Peníze Ivana a Jany

Ivan má 4krát více peněz než Jana. Oba dva dohromady mají 280 korun.

Vypočítejte, kolik korun má Jana.
Řešení
Jana tedy má 56 korun.

10. Násobení zlomků s neznámou

Když sečteme zlomky a dostaneme stejný výsledek, jako když je vynásobíme.

Vypočítejte hodnotu x.
Řešení
Řešením je číslo 7.

11. Rovnice s lomenými výrazy

Vypočítejte rovnici:
Řešení

12. Slepice a husy

2 slepice váží o 1 kg více než husa.

3 slepice váží o 1 kg více než 2 husy.

Každá husa váží stejně a každá slepice váží stejně.

Vypočítejte
a)   kolik váží jedna slepice
b)   kolik váží jedna husa.
Řešení
a)   Váha jedné slepice je 1 kg.
b)   Váha jedné husy je také 1 kg.

13. Průměrné body z testu

Frantovi se z posledního testu podařilo získat 40 bodů ze 60 možných. Jeho průměrný počet bodů ze všech testů tím vzrostl z 27 na 28 bodů.

Vypočítejte, na kolik bodů měl Franta test napsat, aby jeho celkový průměr vzrostl až na 29 bodů.
Řešení
Franta měl test napsat na 53 bodů.

14. Vystřižené rovnoramenné trojúhelníky

Jsou dány dva shodné rovnoramenné trojúhelníky, z nichž každý má obvod 100 cm. Nejprve z těchto trojúhelníků složíme rovnoběžník tak, že je k sobě přiložíme rameny. Poté z nich složíme kosočtverec tak, že je k sobě přiložíme základnami. Rovnoběžník má o 4 cm kratší obvod než kosočtverec.

Vypočítejte délky stran trojúhelníků.
Řešení
Základna má délku 32 cm, rameno má délku 34 cm.

15. Turista na cestě

Turista šel cesty rychlostí 6 km/hod, cesty rychlostí 4 km/hod a zbývajících 7 km rychlostí 5 km/hod.

Vypočítejte:
a)   kolik kilometrů turista ušel,
b)   kolik minut mu trvala cesta.
Řešení
a)   Turista ušel 20 kilometrů.
b)   Cesta mu trvala 254 minut.

16. Plnící linky v mlékárně

V mlékárně mají dvě linky pro plnění krabic mléka. Nová linka je o 50 % rychlejší, než stará linka. Když pracují obě linky současně, naplní běžné denní množství krabic mléka o 6 hodin dříve, než když pracovala pouze stará linka.

Vypočítejte, za jak dlouho naplní denní množství krabic mléka, bude-li pracovat:
a)   pouze stará linka,
b)   pouze nová linka,
c)   obě linky současně.
Řešení
a)   Bude-li pracovat pouze stará linka, naplní denní množství krabic za 10 hodin a 0 minut.
b)   Bude-li pracovat pouze nová linka, naplní denní množství krabic za 6 hodin a 40 minut.
c)   Budou-li pracovat obě linky současně, naplní denní množství krabic za 4 hodin a 0 minut.

17. Vypočítejte rovnici

Vypočítejte rovnici a udělejte zkoušku.
Řešení
x = 4

18. Protijedoucí auta

Města A a B jsou od sebe vzdálená 520 km. Z města A vyjelo auto rychlostí 60 km/h a z města B v tentýž okamžik druhé auto rychlosti 100 km/h.

Vypočítejte:
a)   za jak dlouho se auta setkají,
b)   jak daleko od místa A se setkají.
Řešení
a)   Auta se setkají za 3 hodiny 15 minut
b)   Auta se setkají 195 km od místa A.
c)   

19. Peníze Soni, Emy a Zuzany

Soňa a Ema mají dohromady 200 Kč, Ema a Zuzana mají dohromady 150 Kč, Soňa se Zuzanou mají dohromady 190 Kč.

Vypočítejte, kolik Kč má Soňa, kolik Ema a kolik Zuzana.
Řešení
Soňa má 120 Kč, Ema má 80 Kč a Zuzana má 70 Kč.

20. Cesta brouků za listem

Brouk John vyrazil z domu směrem k zelnému listu rychlostí 20 m/min. O dvě minuty později se za ním vydal brouk Ringo rychlostí 24 m/min. Oba přišli ke zelnému listu současně.

Vypočítejte jak daleko ležel zelný list od jejich domu.
Řešení
Zelný list ležel 240 metrů od jejich domu.