Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 61–80 / 107

Každý ze tří sčítanců je o 5 větší než předchozí. Součet všech je 78.

Vypočítejte nejmenšího z pěti sčítanců.

Řešení

Nejmenší z pěti sčítanců je 16.

62. Cyklistický závod

Cyklisté při závodě ujeli $\frac{3}{7}$ z celkové délky a do cíle jim zbývá 72 km.

Určete:

a) jak dlouhý byl závod,

b) kolik procent závodu budou mít cyklisté za sebou po ujetí 94,50 kilometrů.

Řešení

a) Závod byl dlouhý 126 kilometrů.

b) Cyklisté budou mít za sebou 75 procent závodu.

Bolek a Lolek měli každý svou aritmetickou posloupnost. Jak Lolkova, tak Bolkova posloupnost začínala číslem 2 023 a končila číslem 3 023. Tyto dvě posloupnosti měly 26 společných čísel. Poměr Bolkovy a Lolkovy diference byl 5:2.

Vypočítejte, jaký byl rozdíl Bolkovy a Lolkovy diference.

Řešení

Rozdíl Bolkovy a Lolkovy diference je 12.

Matematická úloha – Posloupnost Bolka a Lolka

64. Exponenciální rovnice

Řešte rovnice

a) $\frac{625^{1-x}\cdot 25^{x-1}}{3125^{x}}=5\cdot \frac{1}{5^{6x}}$

b) $0,25^{2-x}=\frac{256}{2^{x+3}}$

c) $\left (\frac{1}{8}\right )^{-x}=\left (\frac{1}{32}\right )^{1-x}$

d) $3^{2x-3}-9^{x-1}+27^{\frac{2x}{3}}=675$

e) $3 \cdot 3^{2x+1}=3^{x+2}-1-6\cdot 3^{x}+3^{2(x+1)}$

f) $6^{x}-4\cdot 3^{x}=3\cdot 2^{x}-12$

Řešení

a) $K=\left \{ 1 \right \}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}$

c) $K=\left \{ \frac{5}{2} \right \}$

d) $K=\left \{ 3 \right \}$

e) $K=\left \{ -1 \right \}$

f) $K=\left \{ 1;2 \right \}$

Matematická úloha – Exponenciální rovnice

65. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\left (2x - 2 \right )^2-3x \left (x-3 \right ) \leq 19-x$

b) $\left (2 - 3x \right ) - \left (x - 1 \right ) \geq - 4 - \left (x-1 \right )^2$

c) $-2 \left (x^2 - 1 \right ) + 2 \left (1 - x \right ) - 5 \leq 0$

d) $x^2 - 3x + 7 > 5x + 16$

e) $x^2-\left (x - 1 \right )^2 > x \left (x - 1 \right ) + 1$

f) $\left (x + 1 \right )^2 - 2 \left (x + 1 \right ) + 1 \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle -5; 3 \right \rangle$

b) $x \in \left ( - \infty ; 2 \right \rangle \cup \left \langle 4; \infty \right )$

c) $x \in \left ( - \infty ; \infty \right )$

d) $x \in \left ( - \infty ; -1 \right ) \cup \left ( 9; \infty \right )$

e) $x \in \left ( 1 ; 2 \right )$

f) $x \in \left \{0\right \}$

Matematická úloha – Kvadratické nerovnice

66. Graf kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce prochází body A[1;1], B[3;-1] a C[1;2].

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.

Řešení

$ y=2,5x^{2}-9.5x+8 $

Matematická úloha – Graf kvadratické funkce

67. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{11+3x}{x+3}-\frac{5x}{x-4}+\frac{x}{x^{2}-x-12}+2=0$

b) $\frac{1}{x+4}+\frac{x^{2}-20}{x^{2}-16}=1$

c) $\frac{2x}{x+3}-\frac{2x}{x-3}=\frac{72}{4x^{2}-36}$

d) $\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{8x}{1-4x^{2}}$

Řešení

a) $K=\left \{ -4 \right \}; x\neq -3\vee x\neq 4$

b) $K=\left \{ 8 \right \}; x\neq \pm{4}$

c) $K=\left \{ -\frac{3}{2} \right \}; x\neq \pm{3}$

d) $K= \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\}$

68. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $x-3+\frac{1}{x-2}=x-4-\frac{2x-3}{2-x}$

b) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{x^{2}+6}$

c) $\frac{5}{2x-3}-\frac{3x-8}{4x-6}=\frac{7}{9}-\frac{6x-1}{10x-15}$

d) $\frac{5}{2x-3}+\frac{3x+8}{4x-6}=\frac{7}{6}-\frac{6x-2}{10x-15}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq \2$

b) $K=\left \{ -12 \right \}; x\neq 3\vee x\neq -2$

c) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

d) $K=\left \{ -33 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

69. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $5+\frac{3}{3x-12}=\frac{5-x}{x-4}$

b) $\frac{7x+2}{3x-2}-\frac{9}{4-6x}=\frac{10x-4}{9x-6}-\frac{1}{16}$

c) $\frac{4}{(x-1)(x+3)}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x+3}$

d) $\frac{3}{(2x+5)^{2}}+\frac{4}{(2x+1)^{2}}=\frac{7}{(2x+5)(2x+1)}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq 4$

b) $K=\left \{ -2 \right \}; x\neq \frac{2}{3}$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq -1\vee x\neq -3$

d) $K=\left \{ -\frac{17}{2} \right \}; x\neq -\frac{5}{2}\vee x\neq-\frac{1}{2}$

70. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{2}{(1-3x)(3x+11)}=\frac{1}{(3x-1)^{2}}-\frac{3}{(3x+11)^{2}}$

b) $\frac{1}{x-2}-\frac{x-3}{x+4}=\frac{6}{x^{2}+2x-8}-1$

c) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{2}{x+2}-1=\frac{6}{x^{2}+x-2}$

d) $1+\frac{2x}{x+4}-\frac{15}{2x^{2}+7x-4}=\frac{6x}{2x-1}$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{2}{3} \right \}; x\neq \frac{1}{3}\vee x\neq -\frac{11}{3}$

b) $K=\left \{ \right \}; x\neq 2\vee x\neq -4$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq 1\vee x\neq -2$

d) $K=\left \{ -1 \right \}; x\neq -4\vee x\neq\frac{1}{2}$

71. Lektvar věčného mládí

Čarodějnice připravuje lektvar věčného mládí. V receptu se dočetla, že objem lektvaru je tvořen ze dvou devítin z tekutého jedu ropuchy, z šesti patnáctin z nektaru mandragory a zbytek tvoří 34 mililitrů vody.

Vypočtěte, kolik mililitrů lektvaru čarodějnice podle tohoto receptu vyrobí.

Řešení

Čarodějnice připraví 90 ml lektvaru věčného mládí.

Matematická úloha – Lektvar věčného mládí

72. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{3x+1}{5x-2}=\frac{2(3x+14)}{5(2x+7)}$

b) $\frac{x+1}{x+3}=\frac{x+5}{x+9}$

c) $\frac{3}{2}-\frac{10+x}{2x}=0$

d) $\frac{2x+3}{4x-5}+\frac{2-x}{5-4x}=1$

Řešení

a) $K=\left \{ 7 \right \}; x\neq \frac{2}{5}\vee x\neq -\frac{7}{2}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}; x\neq -3\vee x\neq -9$

c) $K=\left \{ 5 \right \}; x\neq 0$

d) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{5}{4}$

73. Běžky

Na školním lyžařském výletě vyjelo z chaty v 8 h 30 min. družstvo rychlostí 2 m/s. V 8 h 45 min. minut později za nimi vyjel stejnou trasou instruktor rychlostí 3 m/s.

a) Vypočtěte:

b) v kolik hodin dohonil instruktor družstvo,

c) v kolik metrů od chaty to bylo.

Řešení

a) Instruktor dohonil družstvo v čase 9:15.

b) Bylo to 2 700 metrů od chaty.

74. Společné čistění pozemku

Matěj dokáže vyčistit pozemek za 20 minut. Miloš dokáže vyčistit tentýž pozemek za 30 minut.

Vypočítejte, jak dlouho budou čistit pozemek Matěj s Milošem společně.

Řešení

Matěj s Milošem společně vyčistí pozemek za 12 minut.

Matematická úloha – Společné čistění pozemku

75. Doplnění poměru

Doplň místo x takové číslo, aby platila rovnost.

a) $ \frac{5}{6} = \frac{15}{x} $

b) $ \frac{3}{2} + 1 = \frac{x}{10} $

Řešení

a) 18

b) 25

76. Dětské a volejbalové hřiště

Ve městě se rozhodli, že postaví dětské a volejbalové hřiště. Volejbalové bude mít rozměr 12 m × 18,75 m. Dětská hřiště bude mít tvář čtverce. Plocha obou hřišť bude stejná.

Vypočítejte délku strany dětského hřiště.

Řešení

Délka strany dětského hřiště bude 15 m.

Matematická úloha – Dětské a volejbalové hřiště

77. Obsah obdélníku

Jedna strana obdélníku měří 35 cm a druhá je o 7 cm kratší než úhlopříčka obdélníku.

Vypočítejte obsah v cm².

Řešení

Obsah obdélníku je 2 940 cm².

78. Cyklistický závod

Po 30 km je cyklista v jedné pětině závodu.

Vypočtěte, jak dlouhý je celý závod.

Řešení

Závod je dlouhý 150 km.

79. Půjčka na pračku

Paní Oliverová si vzala na půjčku pračku v hodnotě 8 100 Kč. Měsíčně splácí 900 Kč. Již splatila 4 500

Vypočtěte, kolik měsíců bude paní Oliverová ještě splácet.

Řešení

Počet měsíců, v kterých bude Oliverová ještě splácet, je 4.

80. Zahradnické sázení

Zahradnice měly zasadit 200 sazenic. Lenka zasadila o 20 % více než Dana. Eva zasadila o 40 více než Dana. Zuzka zasadila $frac{4}{5}$ toho co Dana.

Vypočtěte, kolik sazenic zasadila Dana.

Řešení

Dana zasadila 40 sazenic.

2 345 6