Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 61–80 / 104

Řešte rovnice

a) $\frac{625^{1-x}\cdot 25^{x-1}}{3125^{x}}=5\cdot \frac{1}{5^{6x}}$

b) $0,25^{2-x}=\frac{256}{2^{x+3}}$

c) $\left (\frac{1}{8}\right )^{-x}=\left (\frac{1}{32}\right )^{1-x}$

d) $3^{2x-3}-9^{x-1}+27^{\frac{2x}{3}}=675$

e) $3 \cdot 3^{2x+1}=3^{x+2}-1-6\cdot 3^{x}+3^{2(x+1)}$

f) $6^{x}-4\cdot 3^{x}=3\cdot 2^{x}-12$

Řešení

a) $K=\left \{ 1 \right \}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}$

c) $K=\left \{ \frac{5}{2} \right \}$

d) $K=\left \{ 3 \right \}$

e) $K=\left \{ -1 \right \}$

f) $K=\left \{ 1;2 \right \}$

Matematická úloha – Exponenciální rovnice

62. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\left (2x - 2 \right )^2-3x \left (x-3 \right ) \leq 19-x$

b) $\left (2 - 3x \right ) - \left (x - 1 \right ) \geq - 4 - \left (x-1 \right )^2$

c) $-2 \left (x^2 - 1 \right ) + 2 \left (1 - x \right ) - 5 \leq 0$

d) $x^2 - 3x + 7 > 5x + 16$

e) $x^2-\left (x - 1 \right )^2 > x \left (x - 1 \right ) + 1$

f) $\left (x + 1 \right )^2 - 2 \left (x + 1 \right ) + 1 \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle -5; 3 \right \rangle$

b) $x \in \left ( - \infty ; 2 \right \rangle \cup \left \langle 4; \infty \right )$

c) $x \in \left ( - \infty ; \infty \right )$

d) $x \in \left ( - \infty ; -1 \right ) \cup \left ( 9; \infty \right )$

e) $x \in \left ( 1 ; 2 \right )$

f) $x \in \left \{0\right \}$

Matematická úloha – Kvadratické nerovnice

63. Graf kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce prochází body A[1;1], B[3;-1] a C[1;2].

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.

Řešení

$ y=2,5x^{2}-9.5x+8 $

Matematická úloha – Graf kvadratické funkce

64. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{11+3x}{x+3}-\frac{5x}{x-4}+\frac{x}{x^{2}-x-12}+2=0$

b) $\frac{1}{x+4}+\frac{x^{2}-20}{x^{2}-16}=1$

c) $\frac{2x}{x+3}-\frac{2x}{x-3}=\frac{72}{4x^{2}-36}$

d) $\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{8x}{1-4x^{2}}$

Řešení

a) $K=\left \{ -4 \right \}; x\neq -3\vee x\neq 4$

b) $K=\left \{ 8 \right \}; x\neq \pm{4}$

c) $K=\left \{ -\frac{3}{2} \right \}; x\neq \pm{3}$

d) $K= \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\}$

65. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $x-3+\frac{1}{x-2}=x-4-\frac{2x-3}{2-x}$

b) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{x^{2}+6}$

c) $\frac{5}{2x-3}-\frac{3x-8}{4x-6}=\frac{7}{9}-\frac{6x-1}{10x-15}$

d) $\frac{5}{2x-3}+\frac{3x+8}{4x-6}=\frac{7}{6}-\frac{6x-2}{10x-15}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq \2$

b) $K=\left \{ -12 \right \}; x\neq 3\vee x\neq -2$

c) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

d) $K=\left \{ -33 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

66. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $5+\frac{3}{3x-12}=\frac{5-x}{x-4}$

b) $\frac{7x+2}{3x-2}-\frac{9}{4-6x}=\frac{10x-4}{9x-6}-\frac{1}{16}$

c) $\frac{4}{(x-1)(x+3)}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x+3}$

d) $\frac{3}{(2x+5)^{2}}+\frac{4}{(2x+1)^{2}}=\frac{7}{(2x+5)(2x+1)}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq 4$

b) $K=\left \{ -2 \right \}; x\neq \frac{2}{3}$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq -1\vee x\neq -3$

d) $K=\left \{ -\frac{17}{2} \right \}; x\neq -\frac{5}{2}\vee x\neq-\frac{1}{2}$

67. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{2}{(1-3x)(3x+11)}=\frac{1}{(3x-1)^{2}}-\frac{3}{(3x+11)^{2}}$

b) $\frac{1}{x-2}-\frac{x-3}{x+4}=\frac{6}{x^{2}+2x-8}-1$

c) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{2}{x+2}-1=\frac{6}{x^{2}+x-2}$

d) $1+\frac{2x}{x+4}-\frac{15}{2x^{2}+7x-4}=\frac{6x}{2x-1}$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{2}{3} \right \}; x\neq \frac{1}{3}\vee x\neq -\frac{11}{3}$

b) $K=\left \{ \right \}; x\neq 2\vee x\neq -4$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq 1\vee x\neq -2$

d) $K=\left \{ -1 \right \}; x\neq -4\vee x\neq\frac{1}{2}$

Čarodějnice připravuje lektvar věčného mládí. V receptu se dočetla, že objem lektvaru je tvořen ze dvou devítin z tekutého jedu ropuchy, z šesti patnáctin z nektaru mandragory a zbytek tvoří 34 mililitrů vody.

Vypočtěte, kolik mililitrů lektvaru čarodějnice podle tohoto receptu vyrobí.

Řešení

Čarodějnice připraví 90 ml lektvaru věčného mládí.

Matematická úloha – Lektvar věčného mládí

69. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{3x+1}{5x-2}=\frac{2(3x+14)}{5(2x+7)}$

b) $\frac{x+1}{x+3}=\frac{x+5}{x+9}$

c) $\frac{3}{2}-\frac{10+x}{2x}=0$

d) $\frac{2x+3}{4x-5}+\frac{2-x}{5-4x}=1$

Řešení

a) $K=\left \{ 7 \right \}; x\neq \frac{2}{5}\vee x\neq -\frac{7}{2}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}; x\neq -3\vee x\neq -9$

c) $K=\left \{ 5 \right \}; x\neq 0$

d) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{5}{4}$

70. Běžky

Na školním lyžařském výletě vyjelo z chaty v 8 h 30 min. družstvo rychlostí 2 m/s. V 8 h 45 min. minut později za nimi vyjel stejnou trasou instruktor rychlostí 3 m/s.

a) Vypočtěte:

b) v kolik hodin dohonil instruktor družstvo,

c) v kolik metrů od chaty to bylo.

Řešení

a) Instruktor dohonil družstvo v čase 9:15.

b) Bylo to 2 700 metrů od chaty.

71. Společné čistění pozemku

Matěj dokáže vyčistit pozemek za 20 minut. Miloš dokáže vyčistit tentýž pozemek za 30 minut.

Vypočítejte, jak dlouho budou čistit pozemek Matěj s Milošem společně.

Řešení

Matěj s Milošem společně vyčistí pozemek za 12 minut.

Matematická úloha – Společné čistění pozemku

72. Doplnění poměru

Doplň místo x takové číslo, aby platila rovnost.

a) $ \frac{5}{6} = \frac{15}{x} $

b) $ \frac{3}{2} + 1 = \frac{x}{10} $

Řešení

a) 18

b) 25

73. Dětské a volejbalové hřiště

Ve městě se rozhodli, že postaví dětské a volejbalové hřiště. Volejbalové bude mít rozměr 12 m × 18,75 m. Dětská hřiště bude mít tvář čtverce. Plocha obou hřišť bude stejná.

Vypočítejte délku strany dětského hřiště.

Řešení

Délka strany dětského hřiště bude 15 m.

Matematická úloha – Dětské a volejbalové hřiště

74. Obsah obdélníku

Jedna strana obdélníku měří 35 cm a druhá je o 7 cm kratší než úhlopříčka obdélníku.

Vypočítejte obsah v cm².

Řešení

Obsah obdélníku je 2 940 cm².

75. Cyklistický závod

Po 30 km je cyklista v jedné pětině závodu.

Vypočtěte, jak dlouhý je celý závod.

Řešení

Závod je dlouhý 150 km.

76. Půjčka na pračku

Paní Oliverová si vzala na půjčku pračku v hodnotě 8 100 Kč. Měsíčně splácí 900 Kč. Již splatila 4 500

Vypočtěte, kolik měsíců bude paní Oliverová ještě splácet.

Řešení

Počet měsíců, v kterých bude Oliverová ještě splácet, je 4.

77. Zahradnické sázení

Zahradnice měly zasadit 200 sazenic. Lenka zasadila o 20 % více než Dana. Eva zasadila o 40 více než Dana. Zuzka zasadila $frac{4}{5}$ toho co Dana.

Vypočtěte, kolik sazenic zasadila Dana.

Řešení

Dana zasadila 40 sazenic.

78. Děti na houpačce

Na houpačce, kterou je páka se dvěma rameny, sedí dvě děti. Houpačka je v rovnováze. Na levé straně sedí 150 cm od středu dítě s hmotností 30 kg a na pravé dítě s hmotností 20 kg.

Vypočtěte, kolik centimetrů od středu sedí dítě na pravé straně.