Úlohy: 161–180 / 211

161. Taneční

Do taneční přišlo 32 chlapců a 34 dívek.

Vypočítejte, kolik různých tanečních párů mohou vytvořit.
Řešení
Mohou vytvořit 1 088 tanečních párů.
Matematická úloha – Taneční

162. Myšlené přirozené číslo

Určete nejmenší přirozené číslo \( x \) takové, že \( 2x \) je druhá mocnina přirozeného čísla a \( 3x \) je třetí mocnina přirozeného čísla.
Řešení
x = 72
Matematická úloha – Myšlené přirozené číslo

163. Obsah trojúhelníku

Je dán trojúhelník ABC. Jeho obvod je 30 cm, přičemž strana a je o 2 cm delší než strana b a o 5 cm kratší než strana c.

Určete obsah trojúhelníku v cm2 a zaokrouhlete na dvě desetinná místa.
Řešení
Obsah trojúhelníku 26,83 cm2
Matematická úloha – Obsah trojúhelníku

164. Seskok na Zemi a na Měsíci

Za bezpečný seskok je považován takový, při kterém člověk dopadne na zem maximální rychlostí 8 m/s. Zrychlení na Zemi je g = 10 ms-2 a zrychlení na Měsíci je 6krát menší než na Zemi.

Určete v metrech (na jedno desetinné místo) maximální výšku, ze které lze bezpečně skočit na Zemi a na Měsíci.
Řešení
a)   Na Zemi lze bezpečně skočit z výšky 3,20 m,
b)   na Měsíci z výšky 19,20 m.
Matematická úloha – Seskok na Zemi a na Měsíci

165. Vnitřní úhly trojúhelníku

Na hodinovém ciferníku navzájem spojíme body u čísel 3, 10 a 12, čímž vznikne trojúhelník.

Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku
a)   u čísla 3,
b)   u čísla 10,
c)   u čísla 12.
Řešení
a)   Velikost úhlu u čísla 3 je 30 °.
b)   Velikost úhlu u čísla 10 je 45 °.
c)   Velikost úhlu u čísla 12 je 105 °.
Matematická úloha – Vnitřní úhly trojúhelníku

166. Úhly v lichoběžníku

O úhlech v lichoběžníku ABCD je známo: velikost úhlu \( \gamma \) je 121 °, velikost úhlu \( \alpha \) je 2/3 úhlu \( \delta \).

Vypočítejte rozdíl úhlů \( \alpha \) a \( \beta \).
Řešení
Rozdíl úhlů \( \alpha \) a \( \beta \) je 13 °.
Matematická úloha – Úhly v lichoběžníku

167. Pochodující hlídka

Hlídka měla určený pochodový úhel 13 °. Po ujetí 9 km se úhel změnil na 62 °. Tímto směrem šla hlídka 10 km.

Vypočítejte v km, jaká je vzdušnou čarou vzdálenost startu a cíle pochodu hlídky. (Zapište na dvě desetinná čísla.)
Řešení
Vzdálenost startu a cíle pochodu byla 17,29 km.
Matematická úloha – Pochodující hlídka

168. Házení kostkou

Karel hodil dvakrát hrací kostkou.

Vypočtěte v procentech, jaká je pravděpodobnost, že součet obou hodů je 11. (Výsledek zapište na dvě desetinná místa.)
Řešení
Pravděpodobnost je 5,56 %.
Matematická úloha – Házení kostkou

169. Dvě hrací kostky

Pavel hodil najednou dvěma hracími kostkami.

Vypočtěte v procentech, jaká je pravděpodobnost, že součet na kostkách bude 12. (Výsledek zapište na dvě desetinná místa.)
Řešení
Pravděpodobnost je 2,78 %.
Matematická úloha – Dvě hrací kostky

170. Ochlazení vody

Vypočítejte hmotnost vody v kilogramech, která při ochlazení ze 69 °C na 27 °C odevzdala 520,50 kJ tepla. (Zapište na dvě desetinná místa.)
Řešení
Hmotnost vody je 2,96 kg.
Matematická úloha – Ochlazení vody

171. Černý pasažér

V autobuse cestuje 32 cestujících, z toho tři pasažéři bez platné jízdenky. Do autobusu nastoupil revizor a začal cestující kontrolovat.

Vypočtěte v procentech, jaká je pravděpodobnost, že až druhý cestující, kterého revizor zkontroluje, bude bez platné jízdenky.
Řešení
Pravděpodobnost je 8,77 %.
Matematická úloha – Černý pasažér

172. Bonbony v sáčku

V neprůhledném balíčku je 5 citronových, 6 jablečných a 3 jahodové bonbóny.

Vypočtěte, kolik nejméně bonbonů musíme vybrat, aby byl mezi nimi určitě alespoň jeden jahodový.
Řešení
Musíme vytáhnout 12 bonbonů.
Matematická úloha – Bonbony v sáčku

173. Řeka viditelná z rozhledny

Z rozhledny, která je 15 m vysoká a od řeky vzdálená 30 m, vidíme řeku pod výškovým úhlem 15 °.

Vypočtěte šířku řeky v metrech a zapište na jedno desetinné místo.
Řešení
Řeka je široká 43,30 metrů.
Matematická úloha – Řeka viditelná z rozhledny

174. Oprava střechy věže

Střecha věže má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu a výškou 4 m a hranou podstavy 6 m. Zjistilo se, že je poškozeno 25 % krytiny na střeše.

Vypočtěte, kolik metrů čtverečních krytiny je potřeba k opravě střechy.
Řešení
K opravě je třeba 15 m2 krytiny.
Matematická úloha – Oprava střechy věže

175. Řazení vagónů

Vypočítejte, kolika způsoby můžeme seřadit 5 vagonů, když ve třech vagonech je písek a ve dvou je cement.
Řešení
Vagóny můžeme seřadit 10 způsoby.
Matematická úloha – Řazení vagónů

176. Zvětšení kruhu

Kruh 1 má poloměr a. Kruh 2 má poloměr dvakrát větší.

Vypočtěte, kolikrát větší má kruh 2 větší než kruh 1:
a)   průměr.
b)   obvod,
c)   obsah.
Řešení
a)   Kruh 2 má 2krát větší průměr než kruh 1.
b)   Kruh 2 má 2krát větší obvod než kruh 1.
c)   Kruh 2 má 4krát větší obsah než kruh 1.
Matematická úloha – Zvětšení kruhu

177. Student u zkoušky

Při zkoušce si student náhodně vylosuje tři otázky ze 30 možných. K úspěšnému složení zkoušky musí všechny tři otázky správně zodpovědět. Student umí 70 % otázek.

Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost, že student u zkoušky uspěje.
Řešení
Pravděpodobnost je 32,78 %.
Matematická úloha – Student u zkoušky

178. První stupeň školy

Ve škole je na prvním stupni p prvňáků. Druháků je o 18 % méně než prvňáků. Třeťáků je o 7 více než druháků a čtvrťáků je dvakrát více než prvňáků a druháků dohromady.

Vyjádřete výrazem počet žáků na prvním stupni a výraz zjednodušte.
Řešení
Na prvním stupni je 6.28p+7 žáků.
Matematická úloha – První stupeň školy

179. Objem jehlanu

Je dán pravidelný čtyřbokého jehlanu. Výška jehlanu je 30 cm a stěnová výška je 50 cm.

Vypočtěte v dm3 objem jehlanu.
Řešení
Objem jehlanu je 64 dm3.
Matematická úloha – Objem jehlanu

180. Výrobní linky

V továrně se vyrábí 35 % výrobků na výrobní lince A, která vyrábí zmetky s pravděpodobností a 65 % výrobků na výrobní lince B, kde je pravděpodobnost zmetků .

Vypočtěte, jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek bude vadný.
Řešení
Pravděpodobnost zmetku je 2,65 %.
Matematická úloha – Výrobní linky