Úlohy: 21–32 / 32

12
Přehled ročníků

21. Pochodující hlídka

Hlídka měla určený pochodový úhel 13 °. Po ujetí 9 km se úhel změnil na 62 °. Tímto směrem šla hlídka 10 km.

Vypočítejte v km, jaká je vzdušnou čarou vzdálenost startu a cíle pochodu hlídky. (Zapište na dvě desetinná čísla.)
Řešení
Vzdálenost startu a cíle pochodu byla 17,29 km.
Matematická úloha – Pochodující hlídka

22. Trojúhelník v ciferníku

Trojúhelník spojuje na ciferníku cifry 2, 7 a 9.

Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku. (Zapište vzestupně podle velikosti.)
Řešení
Úhly mají velikosti 30 °, 75 ° a 75 °.
Matematická úloha – Trojúhelník v ciferníku

23. Řeka viditelná z rozhledny

Z rozhledny, která je 15 m vysoká a od řeky vzdálená 30 m, vidíme řeku pod výškovým úhlem 15 °.

Vypočtěte šířku řeky v metrech a zapište na jedno desetinné místo.
Řešení
Řeka je široká 43,30 metrů.
Matematická úloha – Řeka viditelná z rozhledny

24. Existence trojúhelníku

Určete, které trojice úseček s danými délkami mohou být trojicemi stran trojúhelníku.
a)   42 mm; 22 mm; 12 mm
b)   5 cm; 50 mm; 6 cm
c)   10 m; 5 m; 50 dm
d)   2,10 cm; 4,20 cm; 1,90 cm
Řešení
a)   0
b)   1
c)   0
d)   0
Matematická úloha – Existence trojúhelníku

25. Pravidelný šestiúhelník

Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF.

Určete velikost úhlu AFC.
Řešení
Velikost úhlu AFC = 60 °
Matematická úloha – Pravidelný šestiúhelník

26. Kuželovitá střecha

Střecha věže má tvar pláště rotačního kužele o průměru podstavy 4,30 m. Odchylka strany od roviny podstavy je 36 °.

Vypočtěte v m2 spotřebu plechu na pokrytí střechy, počítáme-li 8 % na odpad. (Výsledek zapište na dvě desetinná místa.)
Řešení
Spotřeba plechu je 19,40 m2
Matematická úloha – Kuželovitá střecha

27. Těžiště trojúhelníku

V trojúhelníku ABCE prochází přímka p těžištěm T trojúhelníku a je rovnoběžná s úsečkou BC.

Vypočtěte poměr obsahu rozdělené menší části trojúhelníku přímkou ​​p a obsahu trojúhelníku.
Řešení
Poměr je 4:9.
Matematická úloha – Těžiště trojúhelníku

28. Kružnice a tětiva

Na obrázku jsou kružnice k₁(S₁; r₁ = 9 cm) a k₂(S₂; r₂ = 5 cm). Jejich průsečíky určují společnou tětivu AB dlouhou 8 cm.

Vypočítejte v cm vzdálenost středů |S₁S₂| s přesností na dvě desetinná místa.
Dvě kružnice
Řešení
Vzdálenost středů |S₁S₂| je 11,06 cm.
Matematická úloha – Kružnice a tětiva

29. Vnitřní úhly v trojúhelníku

Velikosti vnitřních úhlů α, β, γ trojúhelníku jsou v poměru 3:4:5.

Vypočítejte
a)   úhel α,
b)   úhel β,
c)   úhel γ.
Řešení
a)   α = 45 °
b)   β = 60 °
c)   γ = 75 °
Matematická úloha – Vnitřní úhly v trojúhelníku

30. Lepenkové krabice

Uzavřená krabice má tvar kolmého hranolu s podstavou rovnostranného trojúhelníku. Hrana podstavy je 24 cm dlouhá, výška krabice je 0,50 m.

Vypočítejte, kolik metrů čtverečních lepenky je třeba na zhotovení 20 takových krabic. (Výsledek zapište zaokrouhlený na 2 desetinná místa.)
Řešení
S = 8,20 m2
Matematická úloha – Lepenkové krabice

31. Rovnoramenné trojúhelníky

Dva rovnoramenné trojúhelníky mají při vrcholu naproti základně stejný úhel. První z nich má základnu dlouhou 12 cm a rameno 9 cm. Druhý má základnu dlouhou 16 cm.

Vypočítejte obvod druhého trojúhelníku.
Řešení
Obvod druhého trojúhelníku je 40 cm.
Matematická úloha – Rovnoramenné trojúhelníky

32. Vnitřní úhly v trojúhelníku

V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu \( \beta \) o 10 stupňů větší než velikost úhlu \( \alpha \) a velikost úhlu \( \gamma \) je 3× větší než velikost úhlu \( \beta \).

Určete velikost úhlů:
a)   \( \alpha \)
b)   \( \beta \)
c)   \( \gamma \)
Řešení
a)   Velikost úhlu \( \alpha \) je 28 °,
b)   velikost úhlu \( \beta \) je 38 °,
c)   velikost úhlu \( \gamma \) je 114 °.
Matematická úloha – Vnitřní úhly v trojúhelníku
 
12