Úlohy: 21–37 / 37

12
Přehled ročníků

21. Obvod trojúhelníku ABC

Je dán trojúhelník ABC. Délka strany a je rovna dvou třetinám strany c. Délka strany c je rovna třem pětinám délky strany b. Délka strany b je 15 cm.

Vypočítejte obvod trojúhelníku ABC.
Řešení
Obvod trojúhelníku ABC je 50 cm.
Matematická úloha – Obvod trojúhelníku ABC

22. Vychýlená věž

Výška věže je 56 m a vrchol věže se nachází ve výšce 55,86 m.

Určete, o kolik metrů je věž vychýlená. (Zaokrouhlete na dvě desetinná místa.)
Řešení
Věž je vychýlená o 4,03 m.
Matematická úloha – Vychýlená věž

23. Obsah trojúhelníku

Je dán trojúhelník ABC. Jeho obvod je 30 cm, přičemž strana a je o 2 cm delší než strana b a o 5 cm kratší než strana c.

Určete obsah trojúhelníku v cm2 a zaokrouhlete na dvě desetinná místa.
Řešení
Obsah trojúhelníku 26,83 cm2
Matematická úloha – Obsah trojúhelníku

24. Vnitřní úhly trojúhelníku

Na hodinovém ciferníku navzájem spojíme body u čísel 3, 10 a 12, čímž vznikne trojúhelník.

Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku
a)   u čísla 3,
b)   u čísla 10,
c)   u čísla 12.
Řešení
a)   Velikost úhlu u čísla 3 je 30 °.
b)   Velikost úhlu u čísla 10 je 45 °.
c)   Velikost úhlu u čísla 12 je 105 °.
Matematická úloha – Vnitřní úhly trojúhelníku

25. Obsah obdélníku

Jedna strana obdélníku měří 35 cm a druhá je o 7 cm kratší než úhlopříčka obdélníku.

Vypočítejte obsah v cm2.
Řešení
Obsah obdélníku je 2 940 cm2.

26. Pochodující hlídka

Hlídka měla určený pochodový úhel 13 °. Po ujetí 9 km se úhel změnil na 62 °. Tímto směrem šla hlídka 10 km.

Vypočítejte v km, jaká je vzdušnou čarou vzdálenost startu a cíle pochodu hlídky. (Zapište na dvě desetinná čísla.)
Řešení
Vzdálenost startu a cíle pochodu byla 17,29 km.
Matematická úloha – Pochodující hlídka

27. Trojúhelník v ciferníku

Trojúhelník spojuje na ciferníku cifry 2, 7 a 9.

Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku. (Zapište vzestupně podle velikosti.)
Řešení
Úhly mají velikosti 30 °, 75 ° a 75 °.
Matematická úloha – Trojúhelník v ciferníku

28. Řeka viditelná z rozhledny

Z rozhledny, která je 15 m vysoká a od řeky vzdálená 30 m, vidíme řeku pod výškovým úhlem 15 °.

Vypočtěte šířku řeky v metrech a zapište na jedno desetinné místo.
Řešení
Řeka je široká 43,30 metrů.
Matematická úloha – Řeka viditelná z rozhledny

29. Existence trojúhelníku

Určete, které trojice úseček s danými délkami mohou být trojicemi stran trojúhelníku.
a)   42 mm; 22 mm; 12 mm
b)   5 cm; 50 mm; 6 cm
c)   10 m; 5 m; 50 dm
d)   2,10 cm; 4,20 cm; 1,90 cm
Řešení
a)   0
b)   1
c)   0
d)   0
Matematická úloha – Existence trojúhelníku

30. Pravidelný šestiúhelník

Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF.

Určete velikost úhlu AFC.
Řešení
Velikost úhlu AFC = 60 °
Matematická úloha – Pravidelný šestiúhelník

31. Kuželovitá střecha

Střecha věže má tvar pláště rotačního kužele o průměru podstavy 4,30 m. Odchylka strany od roviny podstavy je 36 °.

Vypočtěte v m2 spotřebu plechu na pokrytí střechy, počítáme-li 8 % na odpad. (Výsledek zapište na dvě desetinná místa.)
Řešení
Spotřeba plechu je 19,40 m2
Matematická úloha – Kuželovitá střecha

32. Těžiště trojúhelníku

V trojúhelníku ABCE prochází přímka p těžištěm T trojúhelníku a je rovnoběžná s úsečkou BC.

Vypočtěte poměr obsahu rozdělené menší části trojúhelníku přímkou ​​p a obsahu trojúhelníku.
Řešení
Poměr je 4:9.
Matematická úloha – Těžiště trojúhelníku

33. Kružnice a tětiva

Na obrázku jsou kružnice k₁(S₁; r₁ = 9 cm) a k₂(S₂; r₂ = 5 cm). Jejich průsečíky určují společnou tětivu AB dlouhou 8 cm.

Vypočítejte v cm vzdálenost středů |S₁S₂| s přesností na dvě desetinná místa.
Dvě kružnice
Řešení
Vzdálenost středů |S₁S₂| je 11,06 cm.
Matematická úloha – Kružnice a tětiva

34. Vnitřní úhly v trojúhelníku

Velikosti vnitřních úhlů α, β, γ trojúhelníku jsou v poměru 3:4:5.

Vypočítejte
a)   úhel α,
b)   úhel β,
c)   úhel γ.
Řešení
a)   α = 45 °
b)   β = 60 °
c)   γ = 75 °
Matematická úloha – Vnitřní úhly v trojúhelníku

35. Lepenkové krabice

Uzavřená krabice má tvar kolmého hranolu s podstavou rovnostranného trojúhelníku. Hrana podstavy je 24 cm dlouhá, výška krabice je 0,50 m.

Vypočítejte, kolik metrů čtverečních lepenky je třeba na zhotovení 20 takových krabic. (Výsledek zapište zaokrouhlený na 2 desetinná místa.)
Řešení
S = 8,20 m2
Matematická úloha – Lepenkové krabice

36. Rovnoramenné trojúhelníky

Dva rovnoramenné trojúhelníky mají při vrcholu naproti základně stejný úhel. První z nich má základnu dlouhou 12 cm a rameno 9 cm. Druhý má základnu dlouhou 16 cm.

Vypočítejte obvod druhého trojúhelníku.
Řešení
Obvod druhého trojúhelníku je 40 cm.
Matematická úloha – Rovnoramenné trojúhelníky

37. Vnitřní úhly v trojúhelníku

V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu \( \beta \) o 10 stupňů větší než velikost úhlu \( \alpha \) a velikost úhlu \( \gamma \) je 3× větší než velikost úhlu \( \beta \).

Určete velikost úhlů:
a)   \( \alpha \)
b)   \( \beta \)
c)   \( \gamma \)
Řešení
a)   Velikost úhlu \( \alpha \) je 28 °,
b)   velikost úhlu \( \beta \) je 38 °,
c)   velikost úhlu \( \gamma \) je 114 °.
Matematická úloha – Vnitřní úhly v trojúhelníku
 
12