Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–16 / 16

Přehled ročníků

1. Rozklad na součin 3

Rozložte na součin:

a) $x^4 - 16$ =

b) $16x^4 - 81$ =

c) $x^6 - 64$ =

d) $9x^4 - 25$ =

e) $x^8 - 1$ =

f) $8x^6 - 72x^2$ =

Řešení

a) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

b) $(2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)$

c) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

d) $(3x^2 - 5)(3x^2 + 5)$

e) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)$

f) $8x^2(x^2 - 3)(x^2 + 3)$

2. Rozklad na součin 2

Rozložte na součin:

a) $8x^3 - 32x$ =

b) $4x^3 - 16x$ =

c) $6x^3 + 18x^2$ =

d) $6x^2 - 24$ =

e) $5x^3 - 45x$ =

f) $8x^4 - 32x^2$ =

Řešení

a) $8x(x - 2)(x + 2)$

b) $4x(x - 2)(x + 2)$

c) $6x^2(x + 3)$

d) $6(x - 2)(x + 2)$

e) $5x(x - 3)(x + 3)$

f) $8x^2(x - 2)(x + 2)$

3. Rozklad na součin 1

Rozložte na součin:

a) $x^2 + 6x + 9$ =

b) $4x^2 - 16$ =

c) $x^2 - 9$ =

d) $9x^2 + 12x + 4$ =

e) $x^2 + 8x + 16$ =

f) $16x^2 - 25$ =

Řešení

a) $(x + 3)^2$

b) $(2x - 4)(2x + 4)$

c) $(x - 3)(x + 3)$

d) $(3x + 2)^2$

e) $(x + 4)^2$

f) $(4x - 5)(4x + 5)$

4. Vytýkání 1

Vytýkáním upravte na součin:

a) $6x^2 + 9x$ =

b) $12x^3 - 8x^2$ =

c) $15x^2 + 25x$ =

d) $18x^3 - 27x^2 + 36x$ =

e) $4x^3 + 8x^2 - 16x$ =

f) $10x^4 - 5x^3 + 15x^2$ =

Řešení

a) $3x(2x + 3)$

b) $4x^2(3x - 2)$

c) $5x(3x + 5)$

d) $9x(2x^2 - 3x + 4)$

e) $4x(x^2 + 2x - 4)$

f) $5x^2(2x^2 - x + 3)$

5. Roznásobování závorek 2

Roznásobte závorky a zjednodušte výraz:

a) $(x^2 + 2x + 3)(x + 4)$ =

b) $(2x^2 - 3x + 1)(x - 5)$ =

c) $(x^2 + 4x - 2)(2x - 1)$ =

d) $(3x^2 - x + 4)(x + 2)$ =

e) $(2x^2 + x - 3)(x - 3)$ =

f) $(x^2 - 2x + 5)(2x + 3)$ =

Řešení

a) $x^3 + 6x^2 + 11x + 12$

b) $2x^3 - 13x^2 + 16x - 5$

c) $2x^3 + 7x^2 - 8x + 2$

d) $3x^3 + 5x^2 + 2x + 8$

e) $2x^3 - 5x^2 - 6x + 9$

f) $2x^3 - x^2 + 4x + 15$

Matematická úloha – Roznásobování závorek 2

6. Roznásobování závorek 1

Roznásobte závorky a zjednodušte výraz:

a) (2x + 3)(x - 4) =

b) (x + 5)(3x + 2) =

c) (4x - 7)(x + 6) =

d) (5x + 1)(x - 3) =

e) (3x - 2)(2x + 4) =

f) (2x + 8)(x + 5) =

Řešení

a) $2x^2 - 5x - 12$

b) $3x^2 + 17x + 10$

c) $4x^2 + 17x - 42$

d) $5x^2 - 14x - 3$

e) $6x^2 + 8x - 8$

f) $2x^2 + 18x + 40$

Matematická úloha – Roznásobování závorek 1

7. Hodnota výrazu

Vypočítej hodnotu výrazu y = 3x² – 2x + 3 pro:

a) x = -2,

b) x = 1,

c) x = 0,

d) x = 0,50.

Řešení

a) 19

b) -2

c) 3

d) 2,75

8. Hodnota výrazu

Je dán výraz $\frac{3x-4}{2}-2x+5$ .

Vypočítejte hodnotu výrazu pro:

a) x = 1

b) x = 0

c) x = 4

d) x = -2

Řešení

a) 2,50

b) 3

c) 1

d) 4

9. Hodnota výrazu

Je dán výraz $4x+2y-{x}^{2}-3{y}^{2}$ .

Vypočítejte hodnotu výrazu pro hodnoty proměnných:

a) $x = 2$ , $y = -3$

b) $x = 4$ , $y = 1$

c) $x = -2$ , $y = 2$

d) $x = -3$ , $y = -4$

Řešení

a) -29

b) -1

c) -20

d) -77

10. Výrazy

Zapište jako výrazy:

a) 5násobek součtu čísel a a b,

b) součin čísel 5 a f zmenšený o 6

c) rozdíl 3násobku čísla r a čísla 8

d) 3násobek rozdílu čísla r a čísla 8

e) druhá mocnina součtu čísel a a b

f) pětina čísla s zmenšená o polovinu čísla t

g) součin čísel a a b zmenšený o jejich podíl

h) podíl čísel x a 2 zvětšený o y

Řešení

a) $5\left (a+b \right )$

b) $5f-6$

c) $3r-8$

d) $3\left (r-8 \right )$

e) $\left (a+b \right )^2$

f) $\frac{s}{5}-\frac{t}{2}$

g) $ab-\frac{a}{b}$

h) $\frac{x}{2}+y$

11. Výrazy

Zapište výrazy:

a) o 7 menší než x

b) o 10 větší než y

c) 3krát menší než z

d) 5krát větší než a

e) o polovinu menší než b

f) o c menší než 15

g) o m menší než n

h) akrát menší než b

Řešení

a) $x-7$

b) $y+10$

c) $\frac{z}{3}$

d) $5a$

e) $b-\frac{1}{2}$

f) $15-c$

g) $n-m$

h) $\frac{b}{a}$

12. Výrazy

Zapište jako výraz:

a) součin čísel r a 4

b) rozdíl čísel a a b

c) pětinásobek čísla x

d) číslo x zvětšené o 8

e) podíl čísel m a n

f) číslo 12 zmenšené o t

g) číslo 5 vydělené číslem s

h) součet čísel e a f

Řešení

a) $4r$

b) $a-b$

c) $5x$

d) $x+8$

e) $\frac{m}{n}$

f) $12-t$

g) $\frac{5}{s}$

h) $e+f$

13. Výrazy

Kniha stála x Kč.

Vypočítejte, kolik korun stála hra, když stála:

a) o 200 Kč víc než kniha,

b) 3krát více než kniha,

c) o 20 korun méně než dvojnásobek knihy,

d) čtvrtinu knihy.

Řešení

a) $x+200$

b) $3x$

c) $2x-20$

d) $\frac{x}{4}$

14. Zapsání výrazů

Zapište jako výraz:

a) rozdíl výrazů 3x-7 a $3x+7$ ,

b) součin čísla 3 a výrazu $5-2x$ ,

c) podíl výrazů $x+5$ a $2x-6$ ,

d) výraz $5x-3$ umocněný na druhou.

Řešení

a) $\left(3x-7 \right ) - \left (3x-7 \right )$

b) $3 \cdot \left (5-2x \right )$

c) $\frac{x+5}{2x-6}$

d) $\left (5-2x \right )^{2}$

15. Úprava výrazů 1

Zjednodušte výrazy:

a) $ 2 \cdot (x-4) - 3x + 6 + 3 \cdot (2x-4) = $

b) $ 3x - 3 \cdot (4 - 2x) - 5x - (x - 7) = $

c) $ - x - (-x - 2) - 5x + 2 \cdot (2x + 1) = $

d) $ x - 3 \cdot [2 - 3 \cdot (2x + 1)] - 5x - 4 \cdot (x + 2) = $

Řešení

a) $ 5x - 14 $

b) $ 3x - 5 $

c) $ - x + 4 $

d) $ 10x - 5 $

16. První stupeň školy

Ve škole je na prvním stupni p prvňáků. Druháků je o 18 % méně než prvňáků. Třeťáků je o 7 více než druháků a čtvrťáků je dvakrát více než prvňáků a druháků dohromady.

Vyjádřete výrazem počet žáků na prvním stupni a výraz zjednodušte.

Řešení

Na prvním stupni je 6.28p+7 žáků.