Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–20 / 22

Přehled ročníků

1. Definiční obor funkcí 2

Určete definiční obory $ D_f $ následujících funkcí:

a) \[ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \]

b) \[ g(x) = \sqrt{x^2 - 9} \]

c) \[ h(x) = \ln(2x - 1) \]

d) \[ k(x) = \frac{\sqrt{5 - x}}{x + 3} \]

e) \[ m(x) = \sqrt{x + \ln(x)} \]

f) \[ n(x) = \frac{\ln(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \]

Řešení

a) $ D_f = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) $

b) $ D_g = (-\infty, -3\rangle \cup \langle 3, \infty) $

c) $ D_h = \langle \frac{1}{2}, \infty) $

d) $ D_k = (-\infty, -3) \cup (-3, 5\rangle $

e) $ D_m = (0, \infty) $

f) $ D_f = (1, 3) \cup (3, \infty) $

Matematická úloha – Definiční obor funkcí 2

2. Derivace složených funkcí

Určete derivace následujících funkcí:

a) $ f_1(x) = \sin(3x^2) $

b) $ f_2(x) = \ln(\cos(x^2)) $

c) $ f_3(x) = e^{x^3} $

d) $ f_4(x) = \sqrt{2x^5 + 1} $

e) $ f_5(x) = \tan(\ln(x)) $

f) $ f_6(x) = \frac{1}{x^2 + e^{2x}} $

g) $ f_7(x) = \sin(\sqrt{x}) $

h) $ f_8(x) = \frac{\ln(x)}{x^3} $

Řešení

a) \[ f_1'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x \]

b) \[ f_2'(x) = -2x \cdot \tan(x^2)\]

c) \[ f_3'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 \]

d) \[ f_4'(x) = \frac{5x^4}{\sqrt{2x^5 + 1}} \]

e) \[ f_5'(x) = \frac{1}{x \cdot \cos^2(\ln(x))} \]

f) \[ f_6'(x) = -\frac{2x + 2e^{2x}}{(x^2 + e^{2x})^2} \]

g) \[ f_7'(x) = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]

h) \[ f_8'(x) = \frac{1 - 3\ln(x)}{x^4} \]

Matematická úloha – Derivace složených funkcí

3. Derivace polynomů

Určete derivace funkcí:

a) $ f_1(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 7 $

b) $ f_2(x) = -2x^5 + 4x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x $

c) $ f_3(x) = 5x^3 - 7x^2 + x - 8 $

d) $ f_4(x) = -x^5 + 3x^4 - 2x^2 + x - 4 $

e) $ f_5(x) = 6x^4 - 5x^3 + 4x - 9 $

f) $ f_6(x) = -4x^5 + x^3 - 3x^2 + 7x $

g) $ f_7(x) = 3x^4 - x^2 + 2x - 1 $

h) $ f_8(x) = 5x^5 - 3x^4 + x^2 - 6 $

Řešení

a) $ f'_1(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x - 1 $

b) $ f'_2(x) = -10x^4 + 16x^3 - 3x^2 + 12x - 3 $

c) $ f'_3(x) = 15x^2 - 14x + 1 $

d) $ f'_4(x) = -5x^4 + 12x^3 - 4x + 1 $

e) $ f'_5(x) = 24x^3 - 15x^2 + 4 $

f) $ f'_6(x) = -20x^4 + 3x^2 - 6x + 7 $

g) $ f'_7(x) = 12x^3 - 2x + 2 $

h) $ f'_8(x) = 25x^4 - 12x^3 + 2x $

4. Průsečík lineárních funkcí

Určete průsečík grafů lineárních funkcí:

a) $ f_1(x) = 4x - 3 $, $ f_2(x) = -x + 2 $

b) $ f_1(x) = 4x - 1 $, $ f_2(x) = 2x + 5 $

c) $ f_1(x) = 3x + 2 $, $ f_2(x) = 3x + 5 $

d) $ f_1(x) = -x + 4 $, $ f_2(x) = 2x - 2 $

e) $ f_1(x) = -10x - 14 $, $ f_2(x) = -10x - 14 $

f) $ f_1(x) = x - 3 $, $ f_2(x) = -2x + 1 $

g) $ f_1(x) = -3x + 6 $, $ f_2(x) = x + 2 $

h) $ f_1(x) = 2x - 4 $, $ f_2(x) = -x + 5 $

Řešení

a) [1, 1]

b) [3, 11]

c) nemá řešení

d) [2, 2]

e) nekonečně mnoho řešení

f) [ $\frac{4}{3}$, $-\frac{5}{3}$ ]

g) [1, 3]

h) [3, 2]

Matematická úloha – Průsečík lineárních funkcí

5. Průsečíky s osami

Vypočítejte průsečíky s osou $x$ a osou $y$ u grafů následujících funkcí.

a) $ y = 2x - 6 $

b) $ y = -3x + 9 $

c) $ y = \frac{1}{2}x - 4 $

d) $ y = -5x + 15 $

e) $ y = 4x + 8 $

f) $ y = 7x $

g) $ y = 5 $

h) $ y = -2x + 10 $

Řešení

a) $ P_x = [3, 0]; P_y = [0, -6]; $

b) $ P_x = [3, 0]; P_y = [0, 9]; $

c) $ P_x = [8, 0]; P_y = [0, -4]; $

d) $ P_x = [3, 0]; P_y = [0, 15]; $

e) $ P_x = [-2, 0]; P_y = [0, 8]; $

f) $ P_x = [0, 0]; P_y = [0, 0]; $

g) $ P_{x} \text{ neexistuje}; P_y = [0, 5]; $

h) $ P_x = [5, 0]; P_y = [0, 10]; $

6. Hodnota výrazu

Vypočítej hodnotu výrazu y = 3x² – 2x + 3 pro:

a) x = -2,

b) x = 1,

c) x = 0,

d) x = 0,50.

Řešení

a) 19

b) -2

c) 3

d) 2,75

7. Definiční obor funkcí 1

Určete definiční obory $ D_f $ následujících funkcí:

a) \[ f(x) = \frac{1}{x - 2} \]

b) \[ g(x) = \sqrt{5 - x} \]

c) \[ h(x) = \ln(x + 3) \]

d) \[ k(x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 4} \]

e) \[ m(x) = \sqrt{3x + 9} \]

f) \[ n(x) = \frac{\ln(x)}{x^2 - 1} \]

Řešení

a) \[ D_f = (-\infty, 2) \cup (2, \infty).\]

b) \[ D_g = (-\infty, 5\rangle.\]

c) \[ D_h = (-3, \infty).\]

d) \[ D_k = \langle -1, 4) \cup (4, \infty).\]

e) \[ D_m = \langle -3, \infty).\]

f) \[ D_n = (0, 1) \cup (1, \infty).\]

Matematická úloha – Definiční obor funkcí 1

8. Grafy lineárních funkcí

Jsou dány grafy lineárních funkcí.

Určete zpaměti funkční předpis.

Řešení

a) $f \left (x \right ) = 1$

b) $f \left (x \right ) = 3x - 1$

c) $f \left (x \right ) = \frac{3}{2}x - 1$

d) $f \left (x \right ) = - \frac{2}{3}x$

Matematická úloha – Grafy lineárních funkcí

9. Grafy lineárních funkcí

Jsou dány grafy lineárních funkcí.

Určete zpaměti funkční předpis.

Řešení

a) $f \left (x \right ) = - 2x + 2$

b) $f \left (x \right ) = \frac{1}{2}x - 3$

c) $f \left (x \right ) = \frac{1}{3}x$

d) $f \left (x \right ) = x - 2$

10. Průběh funkce

Je dána funkce $f(x)=\frac{x^2+4x-5}{x^2-9}$

Určete:

a) definiční obor funkce f,

b) obor hodnot funkce f,

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje),

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují),

e) zda je funkce f sudá nebo lichá,

f) zda je funkce f periodická,

g) zda je funkce f prostá,

h) zda je funkce f ohraničená zdola nebo shora,

i) intervaly spojitosti funkce f,

j) první derivaci funkce,

k) druhou derivaci funkce,

l) stacionární body,

m) lokální extrémy funkce,

n) v kterých intervalech funkce f roste,

o) v kterých intervalech funkce f klesá,

p) inflexní body,

q) intervaly konvexnosti funkce,

r) intervaly konkávnosti funkce,

s) asymptoty funkce (pokud existují),

t) limity na hranicích definičního oboru,

u) načrtněte graf funkce.

Řešení

a) Definiční obor $D_{f}= \left ( -\infty; -3 \right ) \cup \left (-3; 3 \right ) \cup \left (3; \infty \right )$

b) Obor hodnot $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y}= \left [0;\frac{5}{9} \right ]$ .

d) Průsečíky s osou x jsou $P_{x_{1}} \left [-5;0 \right ]$ , $P_{x_{2}} \left [1;0 \right ]$ .

e) Funkce f není ani sudá ani lichá.

f) Funkce f není periodická.

g) Funkce f není prostá.

h) Funkce f není ohraničená zdola nebo shora.

i) Intervaly spojitosti funkce f jsou $\left ( -\infty; -3 \right )$ , $\left (-3; 3 \right )$ , $\left (3; \infty \right )$ .

j) ${y}'=-\frac{4 \left( x^{2} +2x + 9 \right )}{\left( x - 3 \right )^{2}\left( x + 3 \right )^{2}}$

k) ${y}''= -\frac{8 \left( x^{5} +5x^{4} + 18x^{3} - 18x^{2} - 243x - 81 \right )}{\left( x - 3 \right )^{4}\left( x + 3 \right )^{4}}$

l) Funkce f nemá stacionární body.

m) Funkce f nemá lokální extrémy.

n) Funkce f není rostoucí na žádném intervalu.

o) Funkce f je klesající na intervalech $\left ( -\infty; -3 \right )$ , $\left (-3; 3 \right )$ , $\left (3; \infty \right )$ .

p) Inflexní bod funkce f je $I = \left [-0,345;0,394 \right ]$ .

q) Funkce f je konvexní na intervalech $\left (-3; -0,345 \right ) \cup \left (3; \infty \right )$ .

r) Funkce f je konkávní na intervalech $\left ( -\infty; -3 \right ) \cup \left (-0,345; 3 \right )$ .

s) Asymptoty funkce f jsou $y=1$ , $x=-3$ a $x=3$ .

t) Limity na hranicích def. oboru jsou
$\lim_{x \to - \infty}=1$ , $\lim_{x \to - 3^{-}}= - \infty$ , $\lim_{x \to - 3^{+}}= \infty$ , $\lim_{x \to 3^{-}}= - \infty$ , $\lim_{x \to 3^{+}}= \infty$ , $\lim_{x \to \infty}= 1$ .

11. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

c) \[y=\left |1+\frac{x}{2}\right |-\left |x\right |-\left |1-\frac{2x}{3}\right |+2 \]

Řešení

Matematická úloha – Lineární funkce s absolutní hodnotou

12. Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Načrtněte graf funkce:

a) $y=\left |x^{2}+2x-3\right |$

b) $y=\left |\frac{1}{2}x^{2}-1\right |-\left |x\right |$

c) $y=x^{2}-\left |x^{2}-3\right |$

Řešení

Matematická úloha – Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

13. Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

a) $y=\left (\frac{x}{4}\right )^{2}-\left |\left(\frac{x}{2}+1\right )^{2}-1\right |$

b) $y=\left |\left (x-1\right )^{2}-1\right |-\left(\frac{x}{2}\right )^{2}$

c) $y=\left |x^{2}-x-2\right |-x^{2}$

Řešení

14. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

a) $y=\left |4-2x\right |+x-1$

b) $y=\left |x-2\right |-2$

c) $y=\frac{x}{2}+3-\left |x-2\right |$

d) $y=2x-3-\left |x-2\right |$

Řešení

15. Funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce.

a) $y=\left | x-4 \right |-\left | x-4 \right |+x$

b) $y=\left | 4-x \right |-\left | 2-x \right |$

c) $y=\left | -x \right |-\left | 2-\frac{x}{2} \right |$

d) $y=\left | x-4 \right |+\left | x \right |-6$

Řešení

Matematická úloha – Funkce s absolutní hodnotou

16. Rovnice lineární funkce

Jsou dány dva body.

Určete rovnici lineární funkce procházející těmito body.

a) A[–2;–5], B[2;1]

b) A[–4;1], B[3;1]

c) A[–3;6], B[6;3]

d) A[–1;4], B[2;7]

e) A[–1;–7], B[4;3]

f) A[–1;–2], B[–1;0]

g) A[-3;6], B[0;3]

h) A[–1;–3], B[2;6]

Řešení

a) $y=\frac{3}{2}x-2$

b) $y=1$

c) $y=-\frac{x}{3}+5$

d) $y=x+5$

e) $y=2x-5$

f) nemá řešení

g) $y=-x+3$

h) $y=3x$

Matematická úloha – Rovnice lineární funkce

17. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = 2x+3$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;3 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [-\frac{3}{2};0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.$

18. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = \frac{1}{2}x-2$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-2 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [4;0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=2x+4.$

19. Body kvadratické funkce

Je dána funkce g: $ y = x^2 - 4x + 3 $.

Určete všechna reálná čísla x tak, aby platilo g(x) = g(-2).

Řešení

x = –2 a x = 6

Matematická úloha – Body kvadratické funkce

20. Graf lineární funkce

Načrtněte graf funkce

a) $y = -2x + 3$

b) $y = -\frac{1}{2}x + 1$

c) $y = \frac{1}{2}x + 1$

d) $y = \frac{3}{2}x - 1$

Řešení

Matematická úloha – Graf lineární funkce

funkce, zobrazení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení