Matikář - Úlohy na procvičení

Úlohy: 1–20 / 343

1. Hrabání sněhu před školou

Pan školník měl shrabat sníh v prostoru před školou. První hodinu shrabal 40 %, 75 % polovinu zbytku a třetí hodinu shrabal zbylých 240 m².

Vypočítejte, kolik m² má prostor před školou.

Řešení

Celková plocha před školou je 640 m².

Matematická úloha – Hrabání sněhu před školou

2. Lineární rovnice 2

Vyřešte lineární rovnice:

a) \[ \frac{x}{3} + \frac{2x}{6} = 5 + 2x \]

b) \[ \frac{3x}{4} - \frac{x}{2} = x + 1 \]

c) \[ \frac{2x}{5} + 3 = \frac{4x}{10} + 6 \]

d) \[ \frac{5x}{6} + 2 = \frac{x}{3} + 4 \]

e) \[ \frac{3x}{8} - \frac{x}{4} = \frac{5}{2} - x \]

f) \[ \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{4} + 2 \]

Řešení

a) \[ x = -\frac{15}{4} \]

b) \[ x = -\frac{4}{3} \]

c) \[ \text{Rovnice nemá řešení.} \]

d) \[ x = 4 \]

e) \[ x = \frac{20}{9} \]

f) \[ x = 4 \]

3. Pavlova cesta

Pavel cestoval na výlet. 20 % cesty jel autobusem, 45 % cesty vlakem a zbylých 105 km autem.

Vypočítejte, kolik kilometrů celkem měřila cesta.

Řešení

Celá cesta měřila 300 km.

4. Výuka cizích jazyků

Ve škole se žáci učili právě jeden cizí jazyk. Angličtinu se učila čtvrtina žáků. Tři pětiny zbytku žáků se učily němčinu a zbylých 78 žáků se učilo francouzštinu.

Vypočítejte, kolik žáků se učilo:

a) angličtinu,

b) němčinu.

Řešení

a) Angličtinu se učilo 65 žáků.

b) Němčinu se učilo 117 žáků.

5. Kuličky v sáčku

V sáčku jsou jen červené, zelené a modré kuličky. 40 % kuliček je červených. 30 % zbylých kuliček jsou zelené. 84 kuliček je modrých.

Vypočítejte, kolik je:

a) červených kuliček,

b) zelených kuliček.

Řešení

a) Počet červených kuliček je 80.

b) Počet zelených kuliček je 36.

6. Rozklad na součin 3

Rozložte na součin:

a) \(x^4 - 16\) =

b) \(16x^4 - 81\) =

c) \(x^6 - 64\) =

d) \(9x^4 - 25\) =

e) \(x^8 - 1\) =

f) \(8x^6 - 72x^2\) =

Řešení

a) \((x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)

b) \((2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\)

c) \((x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)

d) \((3x^2 - 5)(3x^2 + 5)\)

e) \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)

f) \(8x^2(x^2 - 3)(x^2 + 3)\)

7. Rozklad na součin 2

Rozložte na součin:

a) \(8x^3 - 32x\) =

b) \(4x^3 - 16x\) =

c) \(6x^3 + 18x^2\) =

d) \(6x^2 - 24\) =

e) \(5x^3 - 45x\) =

f) \(8x^4 - 32x^2\) =

Řešení

a) \(8x(x - 2)(x + 2)\)

b) \(4x(x - 2)(x + 2)\)

c) \(6x^2(x + 3)\)

d) \(6(x - 2)(x + 2)\)

e) \(5x(x - 3)(x + 3)\)

f) \(8x^2(x - 2)(x + 2)\)

8. Rozklad na součin 1

Rozložte na součin:

a) \(x^2 + 6x + 9\) =

b) \(4x^2 - 16\) =

c) \(x^2 - 9\) =

d) \(9x^2 + 12x + 4\) =

e) \(x^2 + 8x + 16\) =

f) \(16x^2 - 25\) =

Řešení

a) \((x + 3)^2\)

b) \((2x - 4)(2x + 4)\)

c) \((x - 3)(x + 3)\)

d) \((3x + 2)^2\)

e) \((x + 4)^2\)

f) \((4x - 5)(4x + 5)\)

9. Vytýkání 1

Vytýkáním upravte na součin:

a) \(6x^2 + 9x\) =

b) \(12x^3 - 8x^2\) =

c) \(15x^2 + 25x\) =

d) \(18x^3 - 27x^2 + 36x\) =

e) \(4x^3 + 8x^2 - 16x\) =

f) \(10x^4 - 5x^3 + 15x^2\) =

Řešení

a) \(3x(2x + 3)\)

b) \(4x^2(3x - 2)\)

c) \(5x(3x + 5)\)

d) \(9x(2x^2 - 3x + 4)\)

e) \(4x(x^2 + 2x - 4)\)

f) \(5x^2(2x^2 - x + 3)\)

10. Roznásobování závorek 2

Roznásobte závorky a zjednodušte výraz:

a) \((x^2 + 2x + 3)(x + 4)\) =

b) \((2x^2 - 3x + 1)(x - 5)\) =

c) \((x^2 + 4x - 2)(2x - 1)\) =

d) \((3x^2 - x + 4)(x + 2)\) =

e) \((2x^2 + x - 3)(x - 3)\) =

f) \((x^2 - 2x + 5)(2x + 3)\) =

Řešení

a) \(x^3 + 6x^2 + 11x + 12\)

b) \(2x^3 - 13x^2 + 16x - 5\)

c) \(2x^3 + 7x^2 - 8x + 2\)

d) \(3x^3 + 5x^2 + 2x + 8\)

e) \(2x^3 - 5x^2 - 6x + 9\)

f) \(2x^3 - x^2 + 4x + 15\)

Matematická úloha – Roznásobování závorek 2

11. Roznásobování závorek 1

Roznásobte závorky a zjednodušte výraz:

a) (2x + 3)(x - 4) =

b) (x + 5)(3x + 2) =

c) (4x - 7)(x + 6) =

d) (5x + 1)(x - 3) =

e) (3x - 2)(2x + 4) =

f) (2x + 8)(x + 5) =

Řešení

a) \(2x^2 - 5x - 12\)

b) \(3x^2 + 17x + 10\)

c) \(4x^2 + 17x - 42\)

d) \(5x^2 - 14x - 3\)

e) \(6x^2 + 8x - 8\)

f) \(2x^2 + 18x + 40\)

Matematická úloha – Roznásobování závorek 1

12. Žrádlo koček a koťat

Kotě žere o třetinu pomalejším tempem než kočka. Jedna kočka a tři koťata sežerou zásobu žrádla za 12 dní.

Vypočítejte, za jak dlouho sežerou dvojnásobné množství žrádlo dvě kočky a jedno kotě.

Řešení

Dvě kočky a jedno kotě sežerou dvojnásobné množství žrádla za 27 dní.

Matematická úloha – Žrádlo koček a koťat

13. Dvě čerpadla

Velké čerpadlo má o čtvrtinu větší výkon než malé čerpadlo. Obě čerpadla zároveň naplní bazén za 5 hodin.

Vypočítejte, za jak dlouho naplní stejný bazén 3 velká čerpadla pracující současně.

Řešení

Tři velká čerpadla naplní bazén za 3 hodiny.

14. Lineární nerovnice

Vyřešte lineární nerovnice:

a) \[ \frac{2x}{5} - 1 \geq \frac{x}{3} + \frac{4}{5} \]

b) \[ \frac{3x + 2}{4} \leq \frac{5x - 1}{6} \]

c) \[ 4 - \frac{x}{2} \leq 2 + \frac{3x}{4} \]

d) \[ \frac{2x}{3} - \frac{5}{4} \geq \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \]

e) \[ \frac{7x + 5}{8} > \frac{3x}{4} \]

f) \[ \frac{x - 1}{6} \leq \frac{2x + 2}{9} \]

Řešení

a) \( x \in [27, \infty) \)

b) \( x \in [8, \infty) \)

c) \( x \in \left[\frac{8}{5}, \infty\right) \)

d) \( x \in \left[\frac{7}{2}, \infty\right) \)

e) \( x \in (-5, \infty) \)

f) \( x \in [-7, \infty) \)

15. Uklízeči a uklízecí roboti

Halu uklízí uklízeči a uklízecí roboti. Robot je dvakrát výkonnější než uklízeč. Jeden uklízeč a jeden robot společně uklidí halu za 12 hodin.

Vypočítejte, za jak dlouho uklidí halu 5 uklízečů a 2 roboti.

Řešení

5 uklízečů a 2 roboti uklidí halu ze 4 hodiny.

Matematická úloha – Uklízeči a uklízecí roboti

16. Psi pana Ocáska

Pan Ocásek měl 6 psy a měl pro ně žrádlo na 12 dní. Po 3 dnech mu dva psi utekli. Po dalších šesti dnech jednoho ze psů našel.

Vypočítejte, na kolik dní celkem vystačilo psům pana Ocáska žrádlo.

Řešení

Psům pana Ocáska žrádlo vystačilo celkem na 15 dní.

Ve dvou sáčcích – červeném a modrém – bylo dohromady 180 kuliček. Pak někdo z modrého sáčku přemístil třetinu kuliček do červeného sáčku, takže v červeném sáčku bylo o čtvrtinu více než v modrém sáčku.

Vypočítejte, kolik bylo před přemístěním

a) v červeném sáčku,

b) v modrém sáčku.