Úlohy: 1–20 / 340

12345
Přehled ročníků

1. Pavlova cesta

Pavel cestoval na výlet. 20 % cesty jel autobusem, 45 % cesty vlakem a zbylých 105 km autem.

Vypočítejte, kolik kilometrů celkem měřila cesta.
Řešení
Celá cesta měřila 300 km.
Matematická úloha – Pavlova cesta

2. Výuka cizích jazyků

Ve škole se žáci učili právě jeden cizí jazyk. Angličtinu se učila čtvrtina žáků. Tři pětiny zbytku žáků se učily němčinu a zbylých 78 žáků se učilo francouzštinu.

Vypočítejte, kolik žáků se učilo:
a)   angličtinu,
b)   němčinu.
Řešení
a)   Angličtinu se učilo 65 žáků.
b)   Němčinu se učilo 117 žáků.
Matematická úloha – Výuka cizích jazyků

3. Kuličky v sáčku

V sáčku jsou jen červené, zelené a modré kuličky. 40 % kuliček je červených. 30 % zbylých kuliček jsou zelené. 84 kuliček je modrých.

Vypočítejte, kolik je:
a)   červených kuliček,
b)   zelených kuliček.
Řešení
a)   Počet červených kuliček je 80.
b)   Počet zelených kuliček je 36.
Matematická úloha – Kuličky v sáčku

4. Rozklad na součin 3

Rozložte na součin:
a)   \(x^4 - 16\) =
b)   \(16x^4 - 81\) =
c)   \(x^6 - 64\) =
d)   \(9x^4 - 25\) =
e)   \(x^8 - 1\) =
f)   \(8x^6 - 72x^2\) =
Řešení
a)   \((x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)
b)   \((2x - 3)(2x + 3)(4x^2 + 9)\)
c)   \((x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)
d)   \((3x^2 - 5)(3x^2 + 5)\)
e)   \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)
f)   \(8x^2(x^2 - 3)(x^2 + 3)\)
Matematická úloha – Rozklad na součin 3

5. Rozklad na součin 2

Rozložte na součin:
a)   \(8x^3 - 32x\) =
b)   \(4x^3 - 16x\) =
c)   \(6x^3 + 18x^2\) =
d)   \(6x^2 - 24\) =
e)   \(5x^3 - 45x\) =
f)   \(8x^4 - 32x^2\) =
Řešení
a)   \(8x(x - 2)(x + 2)\)
b)   \(4x(x - 2)(x + 2)\)
c)   \(6x^2(x + 3)\)
d)   \(6(x - 2)(x + 2)\)
e)   \(5x(x - 3)(x + 3)\)
f)   \(8x^2(x - 2)(x + 2)\)
Matematická úloha – Rozklad na součin 2

6. Rozklad na součin 1

Rozložte na součin:
a)   \(x^2 + 6x + 9\) =
b)   \(4x^2 - 16\) =
c)   \(x^2 - 9\) =
d)   \(9x^2 + 12x + 4\) =
e)   \(x^2 + 8x + 16\) =
f)   \(16x^2 - 25\) =
Řešení
a)   \((x + 3)^2\)
b)   \((2x - 4)(2x + 4)\)
c)   \((x - 3)(x + 3)\)
d)   \((3x + 2)^2\)
e)   \((x + 4)^2\)
f)   \((4x - 5)(4x + 5)\)
Matematická úloha – Rozklad na součin 1

7. Vytýkání 1

Vytýkáním upravte na součin:
a)   \(6x^2 + 9x\) =
b)   \(12x^3 - 8x^2\) =
c)   \(15x^2 + 25x\) =
d)   \(18x^3 - 27x^2 + 36x\) =
e)   \(4x^3 + 8x^2 - 16x\) =
f)   \(10x^4 - 5x^3 + 15x^2\) =
Řešení
a)   \(3x(2x + 3)\)
b)   \(4x^2(3x - 2)\)
c)   \(5x(3x + 5)\)
d)   \(9x(2x^2 - 3x + 4)\)
e)   \(4x(x^2 + 2x - 4)\)
f)   \(5x^2(2x^2 - x + 3)\)
Matematická úloha – Vytýkání 1

8. Roznásobování závorek 2

Roznásobte závorky a zjednodušte výraz:
a)   \((x^2 + 2x + 3)(x + 4)\) =
b)   \((2x^2 - 3x + 1)(x - 5)\) =
c)   \((x^2 + 4x - 2)(2x - 1)\) =
d)   \((3x^2 - x + 4)(x + 2)\) =
e)   \((2x^2 + x - 3)(x - 3)\) =
f)   \((x^2 - 2x + 5)(2x + 3)\) =
Řešení
a)   \(x^3 + 6x^2 + 11x + 12\)
b)   \(2x^3 - 13x^2 + 16x - 5\)
c)   \(2x^3 + 7x^2 - 8x + 2\)
d)   \(3x^3 + 5x^2 + 2x + 8\)
e)   \(2x^3 - 5x^2 - 6x + 9\)
f)   \(2x^3 - x^2 + 4x + 15\)
Matematická úloha – Roznásobování závorek 2

9. Roznásobování závorek 1

Roznásobte závorky a zjednodušte výraz:
a)   (2x + 3)(x - 4) =
b)   (x + 5)(3x + 2) =
c)   (4x - 7)(x + 6) =
d)   (5x + 1)(x - 3) =
e)   (3x - 2)(2x + 4) =
f)   (2x + 8)(x + 5) =
Řešení
a)   \(2x^2 - 5x - 12\)
b)   \(3x^2 + 17x + 10\)
c)   \(4x^2 + 17x - 42\)
d)   \(5x^2 - 14x - 3\)
e)   \(6x^2 + 8x - 8\)
f)   \(2x^2 + 18x + 40\)
Matematická úloha – Roznásobování závorek 1

10. Žrádlo koček a koťat

Kotě žere o třetinu pomalejším tempem než kočka. Jedna kočka a tři koťata sežerou zásobu žrádla za 12 dní.

Vypočítejte, za jak dlouho sežerou dvojnásobné množství žrádlo dvě kočky a jedno kotě.
Řešení
Dvě kočky a jedno kotě sežerou dvojnásobné množství žrádla za 27 dní.
Matematická úloha – Žrádlo koček a koťat

11. Dvě čerpadla

Velké čerpadlo má o čtvrtinu větší výkon než malé čerpadlo. Obě čerpadla zároveň naplní bazén za 5 hodin.

Vypočítejte, za jak dlouho naplní stejný bazén 3 velká čerpadla pracující současně.
Řešení
Tři velká čerpadla naplní bazén za 3 hodiny.
Matematická úloha – Dvě čerpadla

12. Lineární nerovnice

Vyřešte lineární nerovnice:
a)   \[ \frac{2x}{5} - 1 \geq \frac{x}{3} + \frac{4}{5} \]
b)   \[ \frac{3x + 2}{4} \leq \frac{5x - 1}{6} \]
c)   \[ 4 - \frac{x}{2} \leq 2 + \frac{3x}{4} \]
d)   \[ \frac{2x}{3} - \frac{5}{4} \geq \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \]
e)   \[ \frac{7x + 5}{8} > \frac{3x}{4} \]
f)   \[ \frac{x - 1}{6} \leq \frac{2x + 2}{9} \]
Řešení
a)   \( x \in [27, \infty) \)
b)   \( x \in [8, \infty) \)
c)   \( x \in \left[\frac{8}{5}, \infty\right) \)
d)   \( x \in \left[\frac{7}{2}, \infty\right) \)
e)   \( x \in (-5, \infty) \)
f)   \( x \in [-7, \infty) \)
Matematická úloha – Lineární nerovnice

13. Uklízeči a uklízecí roboti

Halu uklízí uklízeči a uklízecí roboti. Robot je dvakrát výkonnější než uklízeč. Jeden uklízeč a jeden robot společně uklidí halu za 12 hodin.

Vypočítejte, za jak dlouho uklidí halu 5 uklízečů a 2 roboti.
Řešení
5 uklízečů a 2 roboti uklidí halu ze 4 hodiny.
Matematická úloha – Uklízeči a uklízecí roboti

14. Psi pana Ocáska

Pan Ocásek měl 6 psy a měl pro ně žrádlo na 12 dní. Po 3 dnech mu dva psi utekli. Po dalších šesti dnech jednoho ze psů našel.

Vypočítejte, na kolik dní celkem vystačilo psům pana Ocáska žrádlo.
Řešení
Psům pana Ocáska žrádlo vystačilo celkem na 15 dní.
Matematická úloha – Psi pana Ocáska

15. Sáčky s kuličkami

Ve dvou sáčcích – červeném a modrém – bylo dohromady 180 kuliček. Pak někdo z modrého sáčku přemístil třetinu kuliček do červeného sáčku, takže v červeném sáčku bylo o čtvrtinu více než v modrém sáčku.

Vypočítejte, kolik bylo před přemístěním
a)   v červeném sáčku,
b)   v modrém sáčku.
Řešení
a)   V červeném sáčku bylo 60 kuliček,
b)   v modrém sáčku bylo 120 kuliček.
Matematická úloha – Sáčky s kuličkami

16. Kružnice opsaná a vepsaná

Je dán čtverec o obsahu 36 cm2.

Vypočítejte v centimetrech poloměr
a)   kružnice vepsaná,
b)   kružnice opsané.
Řešení
a)   Poloměr kružnice vepsané je 3 cm.
b)   Poloměr kružnice opsané je přibližně 4,24 cm.
Matematická úloha – Kružnice opsaná a vepsaná

17. Žebřík opřený o stěnu

Žebřík má délku 8 metrů. Je opřen o stěnu tak, že jeho dolní konec je ode stěny vzdálen 1,50 metru.

Vypočítejte, do jaké výšky stěny dosahuje žebřík. (Výsledek zapište na dvě desetinná místa.)
Řešení
Žebřík dosahuje do výšky 7,86 metru.
Matematická úloha – Žebřík opřený o stěnu

18. Lanovka na horách

Lanovka má délku 1 500 metrů. Vodorovná vzdálenost horní a dolní stanice lanovky je 1 200 metrů.

Vypočítej, o kolik metrů je horní stanice výš než dolní stanice.
Řešení
Horní stanice lanovky je o 900 metrů výše než dolní stanice.
Matematická úloha – Lanovka na horách

19. Cena kola a koloběžky

Kdyby kolo stálo o 200 korun méně, stélo by o třetinu více než koloběžka. Kolo a koloběžka stály dohromady 11 400 korun.

Vypočítejte, kolik stojí:
a)   kolo,
b)   koloběžka.
Řešení
a)   Kolo stojí 6 600 korun,
b)   koloběžka stojí 4 800 korun.
Matematická úloha – Cena kola a koloběžky

20. Cestující ve vlaku

Vlak má dva vagóny. Kdyby šest cestujících přestoupilo z prvního vagónu do druhého, bude ve druhém vagónu přesně dvojnásobek cestujících proti těm, co zůstanou v prvním vagónu. Kdyby ale přestoupilo šest cestujících z druhého vagónu do prvního, bude cestujících v obou vagónech stejně.

Vypočítejte, kolik je cestujících:
a)   v prvním vagónu,
b)   ve druhém vagónu.
Řešení
a)   V prvním vagónu je 30 cestujících,
b)   ve druhém vagónu je 42 cestujících.
Matematická úloha – Cestující ve vlaku
 
12345