Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–8 / 8

1

Přehled ročníků

1. Kvadratické nerovnice

Vyřešte kvadratické nerovnice:

a) \(x^2 - 4x - 5 > 0\)

b) \(x^2 + 3x - 10 \leq 0\)

c) \(2x^2 - 8x \geq 0\)

d) \(-x^2 + 5x + 14 < 0\)

e) \(x^2 - 6x + 9 > 0\)

f) \(2x^2 - 12x + 16 \leq 0\)

Řešení

a) \((- \infty, -1) \cup (5, \infty)\)

b) \(\langle -5, 2 \rangle\)

c) \((- \infty, 0 \rangle \cup \langle 4, \infty)\)

d) \(x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)\)

e) \((- \infty, 3) \cup (3, \infty)\)

f) \(\langle 2, 4 \rangle\)

2. Lineární nerovnice

Vyřešte lineární nerovnice:

a) \[ \frac{2x}{5} - 1 \geq \frac{x}{3} + \frac{4}{5} \]

b) \[ \frac{3x + 2}{4} \leq \frac{5x - 1}{6} \]

c) \[ 4 - \frac{x}{2} \leq 2 + \frac{3x}{4} \]

d) \[ \frac{2x}{3} - \frac{5}{4} \geq \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \]

e) \[ \frac{7x + 5}{8} > \frac{3x}{4} \]

f) \[ \frac{x - 1}{6} \leq \frac{2x + 2}{9} \]

Řešení

a) \( x \in [27, \infty) \)

b) \( x \in [8, \infty) \)

c) \( x \in \left[\frac{8}{5}, \infty\right) \)

d) \( x \in \left[\frac{7}{2}, \infty\right) \)

e) \( x \in (-5, \infty) \)

f) \( x \in [-7, \infty) \)

3. Neznámé přirozené číslo

Je dáno sudé přirozené číslo, o kterém platí: odečteme-li od tohoto čísla 2 a výsledek vydělíme třemi, dostaneme zlomek větší než 0, ale menší než 1.

Určete toto číslo.

Řešení

Hledané číslo je 4.

4. Kvadratické lomené rovnice

Vyřešte kvadratické lomené nerovnice:

a) $\frac{{x^2 - 7x + 10}}{{x^2 - 6x + 9}} \leq 0$

b) $\frac{{x^2 - 5x + 6}}{{x^2 - 9x + 14}} \geq 0$

c) $\frac{{2x^2 - 9x + 7}}{{x^2 - 4x + 3}} \leq 0$

d) $\frac{{2x^2 - 5x + 2}}{{x^2 - 4x + 3}} \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle 2; 3\right ) \cup \left (3; 5 \right \rangle$

b) $x \in \left ( -\infty; 2\right ) \cup \left (2; 3 \right \rangle$

c) $x \in \left ( 3; \frac{7}{2} \right \rangle$

d) $x \in \left \langle\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left \langle2, 3\right)$

5. Kvadratické nerovnice

Řešte v R kvadratické nerovnice:

a) $x^{2}+12x+36<0$

b) $x^{2}+6x>0$

c) $x^{2}-7x-18\leq0$

d) $x^{2}-x-72<0$

e) $x^{2}-7x+6<0$

f) $x^{2}-7x-30\leq0$

g) $x^{2}-3x-18<0$

h) $x^{2}-4x+4\leq0$

i) $x^{2}-x-6\geq0$

j) $x^{2}-3x-18<0$

k) $x^{2}-3x-70\leq0$

l) $x^{2}-x-2\geq0$

Řešení

a) $x \in \left ( -6; -6 \right )$

b) $x \in \left ( -\infty; -6\right ) \cup \left (0; \infty; \right )$

c) $x \in \left \langle -2; 9 \right \rangle$

d) $x \in \left ( -8; 9 \right )$

e) $x \in \left ( 1; 6 \right )$

f) $x \in \left \langle -3; 10 \right \rangle$

g) $x \in \left ( -3; 6 \right )$

h) $x \in \left \langle 2; 2 \right \rangle$

i) $x \in \left ( -\infty; -2\right \rangle \cup \left \langle3; \infty; \right )$

j) $x \in \left ( -3; 6 \right )$

k) $x \in \left \langle -7; 10 \right \rangle$

l) $x \in \left ( -\infty; -1\right \rangle \cup \left \langle2; \infty; \right )$

6. Kvadratické nerovnice

Řešte v R nerovnice:

a) $x^{2}+13x+36\geq0$

b) $x^{2}-14x+45\leq0$

c) $x^{2}-5x\leq0$

d) $x^{2}+7x+12>0$

e) $x^{2}+4x-45<0$

f) $x^{2}-16<0$

g) $x^{2}+8x+16<0$

h) $x^{2}+20x+100\geq0$

Řešení

a) $x \in \left ( -\infty; -9\right \rangle \cup \left \langle-4; \infty; \right )$

b) $x \in \left \langle 5; 9 \right \rangle$

c) $x \in \left \langle 0; 5 \right \rangle$

d) $x \in \left ( -\infty; -4\right ) \cup \left (-3; \infty; \right )$

e) $x \in \left ( -9; 5 \right )$

f) $x \in \left ( -4; 4 \right )$

g) nemá řešení v R

h) $x \in \left ( -\infty; \infty; \right )$

7. Nerovnice

Řešte nerovnice

a) $\frac{2x-3}{3}+\frac{3x-2}{2}\geq\frac{1}{6}$

b) $\frac{2x+1}{3}<\frac{2x-1}{5}$

c) $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+6}{2}<0$

d) $\frac{x+1}{4}-\frac{x-1}{2}-3<\frac{2x-1}{2}$

e) $\frac{2x-17}{4}-\frac{8-x}{2}-2\leq x-4+\frac{x}{8}$

f) $\frac{x-5}{3}+2\leq \frac{2-x}{5}$

Řešení

a) $x \in \left \langle 1;\infty \right )$

b) $x \in \left (-\infty; -2 \right )$

c) $x \in \left (-\infty; 20 \right )$

d) $x \in \left (-\frac{7}{5}; \infty \right )$

e) $x \in \left \langle -50;\infty \right )$

f) $x \in \left (-\infty; \frac{1}{8} \right \rangle$

8. Nerovnice

Řešte nerovnice v R

a) $\frac{2x-3}{4}+\frac{x}{2}<1$

b) $\frac{2x-1}{2}-23<2x-20$

c) $\frac{3x-1}{4}+\frac{5-6x}{2}\leq 9+\frac{3x}{2}$

d) $3(x+2)+\frac{x-2}{2}<0$

e) $3(x-2)+\frac{x-2}{2}\geq0$

f) $\frac{3x-1}{4}-\frac{4x-1}{6}<\frac{1}{2}$

Řešení

a) $x \in \left ( -\infty; \frac{7}{4} \right )$

b) $x \in \left ( -\frac{7}{2};\infty \right )$

c) $x \in \left \langle -\frac{9}{5};\infty \right )$

d) $x \in \left ( -\infty; -\frac{10}{7} \right )$

e) $x \in \left \langle 2;\infty \right )$

f) $x \in \left ( -\infty; 7 \right )$

1