Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–15 / 15

1

Přehled ročníků

1. Kvadratické lomené rovnice

Vyřešte kvadratické lomené nerovnice:

a) $\frac{{x^2 - 7x + 10}}{{x^2 - 6x + 9}} \leq 0$

b) $\frac{{x^2 - 5x + 6}}{{x^2 - 9x + 14}} \geq 0$

c) $\frac{{2x^2 - 9x + 7}}{{x^2 - 4x + 3}} \leq 0$

d) $\frac{{2x^2 - 5x + 2}}{{x^2 - 4x + 3}} \leq 0$

Řešení

a) $x \in \left \langle 2; 3\right ) \cup \left (3; 5 \right \rangle$

b) $x \in \left ( -\infty; 2\right ) \cup \left (2; 3 \right \rangle$

c) $x \in \left ( 3; \frac{7}{2} \right \rangle$

d) $x \in \left \langle\frac{1}{2}, 1\right) \cup \left \langle2, 3\right)$

2. Kvadratické lomené rovnice

Vyřešte kvadratické lomené rovnice:

a) $\frac{3x^2 - 2x - 1}{x^2 + 4x + 3} = 0$

b) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = 0$

c) $\frac{{x^2 - 6x + 8}}{{x^2 - 5x + 6}} = 0$

d) $\frac{{3x^2 - 8x + 4}}{{x^2 - 5x + 6}} = 0$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{1}{3}; 1 \right \}$

b) $K=\{ -3 \}$

c) $K=\{ 4 \}$

d) $K=\left \{ \frac{2}{3} \right \}$

3. Počet řešení kvadratické rovnice

Určete hodnotu m tak, aby kvadratická rovnice měla jedno řešení.

a) $x^2-4x+m=0$

b) $mx^2+6x+m=0$

c) $3mx^2+2mx+1=0$

d) $mx^{2}+4m(x+1)-2x+1=0$

Řešení

a) m = 4

b) m₁ = -3, m₂ = 3

c) m = 3

d) m = 0,20

4. Potřásání rukou

Po skončení schůzky si všichni přítomní potřásli každý s každým rukou – celkem 105krát.

Vypočítejte, kolik lidí bylo na schůzce.

Řešení

Na schůzce bylo 21 lidí.

5. Body kvadratické funkce

Je dána funkce $y = x^2 - 4x + 3$ .

Určete všechna reálná čísla z tak, aby platilo g(x) = g(-2).

Řešení

x = –2 a x = 6

6. Graf kvadratické funkce

Graf kvadratické funkce prochází body A[1;1], B[3;-1] a C[1;2].

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.

Řešení

$y=2,5x^{2}-9,5x+8$

7. Rovnice

Řešte rovnici a určete, pro jaké x nemá rovnice smysl.

$\frac{12x^{2}+30x-21}{16x^{2}-9}=\frac{3x-7}{3-4x}+\frac{6x+5}{4x+3}$

Řešení

$K=\left \{ 3 \right \}; x\neq \pm{\frac{3}{4}}$

8. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $x-3+\frac{1}{x-2}=x-4-\frac{2x-3}{2-x}$

b) $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}=\frac{5}{x^{2}+6}$

c) $\frac{5}{2x-3}-\frac{3x-8}{4x-6}=\frac{7}{9}-\frac{6x-1}{10x-15}$

d) $\frac{5}{2x-3}+\frac{3x+8}{4x-6}=\frac{7}{6}-\frac{6x-2}{10x-15}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq \2$

b) $K=\left \{ -12 \right \}; x\neq 3\vee x\neq -2$

c) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

d) $K=\left \{ -33 \right \}; x\neq \frac{3}{2}$

9. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $5+\frac{3}{3x-12}=\frac{5-x}{x-4}$

b) $\frac{7x+2}{3x-2}-\frac{9}{4-6x}=\frac{10x-4}{9x-6}-\frac{1}{16}$

c) $\frac{4}{(x-1)(x+3)}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+2}{x+3}$

d) $\frac{3}{(2x+5)^{2}}+\frac{4}{(2x+1)^{2}}=\frac{7}{(2x+5)(2x+1)}$

Řešení

a) $K=\left \{ \right \}; x\neq 4$

b) $K=\left \{ -2 \right \}; x\neq \frac{2}{3}$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq -1\vee x\neq -3$

d) $K=\left \{ -\frac{17}{2} \right \}; x\neq -\frac{5}{2}\vee x\neq-\frac{1}{2}$

10. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{2}{(1-3x)(3x+11)}=\frac{1}{(3x-1)^{2}}-\frac{3}{(3x+11)^{2}}$

b) $\frac{1}{x-2}-\frac{x-3}{x+4}=\frac{6}{x^{2}+2x-8}-1$

c) $\frac{x+1}{x-1}+\frac{2}{x+2}-1=\frac{6}{x^{2}+x-2}$

d) $1+\frac{2x}{x+4}-\frac{15}{2x^{2}+7x-4}=\frac{6x}{2x-1}$

Řešení

a) $K=\left \{ -\frac{2}{3} \right \}; x\neq \frac{1}{3}\vee x\neq -\frac{11}{3}$

b) $K=\left \{ \right \}; x\neq 2\vee x\neq -4$

c) $K=\left \{ \right \}; x\neq 1\vee x\neq -2$

d) $K=\left \{ -1 \right \}; x\neq -4\vee x\neq\frac{1}{2}$

11. Rovnice

Řešte rovnice a určete, pro jaké x nemají rovnice smysl.

a) $\frac{3x+1}{5x-2}=\frac{2(3x+14)}{5(2x+7)}$

b) $\frac{x+1}{x+3}=\frac{x+5}{x+9}$

c) $\frac{3}{2}-\frac{10+x}{2x}=0$

d) $\frac{2x+3}{4x-5}+\frac{2-x}{5-4x}=1$

Řešení

a) $K=\left \{ 7 \right \}; x\neq \frac{2}{5}\vee x\neq -\frac{7}{2}$

b) $K=\left \{ 3 \right \}; x\neq -3\vee x\neq -9$

c) $K=\left \{ 5 \right \}; x\neq 0$

d) $K=\left \{ 6 \right \}; x\neq \frac{5}{4}$

12. Aritmetická posloupnost

V aritmetické posloupnosti je dáno a₁=4, S_n=589, d=3.

Vypočtěte, kolik členů má aritmetická posloupnost.

Řešení

Aritmetická posloupnost má 19 členů.

13. Obsah obdélníku

Jedna strana obdélníku měří 35 cm a druhá je o 7 cm kratší než úhlopříčka obdélníku.

Vypočítejte obsah v cm².

Řešení

Obsah obdélníku je 2 940 cm².

14. Vyřešte rovnici

Vyřešte v R rovnice

a) $\frac{x^2-x}{x^2-1}=0$

b) $\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}=0$

c) $\frac{x^2+7x+10}{x^2+x-20}=0$

d) $\frac{\left ( x+3 \right )^2}{x^2+x-6}=0$

Řešení

a) x = 0

b) x = –2

c) x = –2

d) nemá řešení

15. Vyřešte v R rovnici

Vyřešte v R rovnice

a) $\frac{x^2-5x+6}{x^2-x-6}=0$

b) $\frac{x^2-6x-7}{x^2-1}=0$

c) $\frac{x^2-6x}{3x}=0$

d) $\frac{x^2-2x-15}{x^2-8x+15}=0$

Řešení

a) x = 2

b) x = 7

c) x = 6

d) x = -3

1