Úlohy: 1–7 / 7

1
Přehled ročníků

1. Exponenciální rovnice počítané substitucí

Vypočítej exponenciální rovnice v oboru reálných čísel:
a)   \[ 2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \]
b)   \[ 3^{2x} + 2 \cdot 3^x - 8 = 0 \]
c)   \[ 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \]
d)   \[ 4^{2x} - 8 \cdot 4^x + 16 = 0 \]
e)   \[ 9^{2x} - 7 \cdot 9^x + 12 = 0 \]
f)   \[ 7^{2x} - 13 \cdot 7^x + 42 = 0 \]
g)   \[ 6^{2x} - 5 \cdot 6^x - 6 = 0 \]
h)   \[ 10^{2x} + 3 \cdot 10^x - 4 = 0 \]
Řešení
a)   \( x = 0 \) nebo \( x = 1 \)
b)   \( x = \log_3 2 \)
c)   \( x = 1 \) nebo \( x = 0 \)
d)   \( x = 1 \)
e)   \( x = \frac{1}{2} \) nebo \( x = \log_9 4 \)
f)   \( x = \log_7 6 \) nebo \( x = 1 \)
g)   \( x = 1 \)
h)   \( x = 0 \)

2. Exponenciální rovnice

Najděte řešení exponenciálních rovnic:
a)   
b)   
Řešení
a)   x = 5
b)   x = 3

3. Trosečník na ostrově

Trosečník přišel na pustý ostrov se 4 obilnými zrnky. Z jednoho zrnka získal 10 zrnek a na chléb potřeboval 1 kg obilí a 1 zrnko má hmotnost asi 0,20 g? (Předpokládejme jednu úrodu za rok.)

Vypočítejte, kolik let trosečníkovi trvalo, než si vypěstoval dost obilí na chléb.
Řešení
Trosečníkovi trvalo 4 roky, než si vypěstoval dost obilí na chléb.

4. Exponenciální rovnice

Řešte rovnice
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   

5. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice v R
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
g)   
h)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   nemá řešení v R
e)   
f)   
g)   
h)   

6. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   

7. Bakterie ve zkumavce

Bakterie ve zkumavce se dělí každou sekundu na dvě, přičemž každá nová má stejný objem jako původní. Přesně o půlnoci byla zkumavka plná.

Vypočítejte, kolik sekund před půlnocí byla zkumavka zaplněna do poloviny.
Řešení
Počet sekund před půlnocí, kdy byla zkumavka zaplněná do poloviny, bylo 1.
 
1