Úlohy: 1–6 / 6

1
Přehled ročníků

1. Exponenciální rovnice počítané substitucí

Vypočítej exponenciální rovnice v oboru reálných čísel:
a)   \( 2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 \)
b)   \( 3^{2x} + 2 \cdot 3^x - 8 = 0 \)
c)   \( 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \)
d)   \( 4^{2x} - 8 \cdot 4^x + 16 = 0 \)
e)   \( 9^{2x} - 7 \cdot 9^x + 12 = 0 \)
f)   \( 7^{2x} - 13 \cdot 7^x + 42 = 0 \)
g)   \( 6^{2x} - 5 \cdot 6^x - 6 = 0 \)
h)   \( 10^{2x} + 3 \cdot 10^x - 4 = 0 \)
Řešení
a)   \( x = 0 \) nebo \( x = 1 \)
b)   \( x = \log_3 2 \)
c)   \( x = 1 \) nebo \( x = 0 \)
d)   \( x = 1 \)
e)   \( x = \frac{1}{2} \) nebo \( x = \log_9 4 \)
f)   \( x = \log_7 6 \) nebo \( x = 1 \)
g)   \( x = 1 \)
h)   \( x = 0 \)
Matematická úloha – Exponenciální rovnice počítané substitucí

2. Exponenciální rovnice

Najděte řešení exponenciálních rovnic:
a)   
b)   
Řešení
a)   x = 5
b)   x = 3
Matematická úloha – Exponenciální rovnice

3. Trosečník na ostrově

Trosečník přišel na pustý ostrov se 4 obilnými zrnky. Z jednoho zrnka získal 10 zrnek a na chléb potřeboval 1 kg obilí a 1 zrnko má hmotnost asi 0,20 g? (Předpokládejme jednu úrodu za rok.)

Vypočítejte, kolik let trosečníkovi trvalo, než si vypěstoval dost obilí na chléb.
Řešení
Trosečníkovi trvalo 4 roky, než si vypěstoval dost obilí na chléb.
Matematická úloha – Trosečník na ostrově

4. Exponenciální rovnice

Řešte rovnice
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Matematická úloha – Exponenciální rovnice

5. Kvadratické nerovnice

Řešte nerovnice
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   
e)   
f)   
Matematická úloha – Kvadratické nerovnice

6. Bakterie ve zkumavce

Bakterie ve zkumavce se dělí každou sekundu na dvě, přičemž každá nová má stejný objem jako původní. Přesně o půlnoci byla zkumavka plná.

Vypočítejte, kolik sekund před půlnocí byla zkumavka zaplněna do poloviny.
Řešení
Počet sekund před půlnocí, kdy byla zkumavka zaplněná do poloviny, bylo 1.
Matematická úloha – Bakterie ve zkumavce
 
1