Úlohy: 1–20 / 26

12
Přehled ročníků

1. Hodnost matic 2

Určete hodnost následujících matic:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 4 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( \text{hodnost}(A) = 1 \)
b)   \( \text{hodnost}(B) = 3 \)
c)   \( \text{hodnost}(C) = 3 \)
d)   \( \text{hodnost}(D) = 2 \)
e)   \( \text{hodnost}(E) = 1 \)
f)   \( \text{hodnost}(F) = 3 \)
Matematická úloha – Hodnost matic 2

2. Determinant matic

Určete determinant matic převodem na trojúhelníkový tvar:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 4 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 4 & 7 & 3 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -1 \\ 5 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( \text{det}(A) = 7 \)
b)   \( \text{det}(B) = 63 \)
c)   \( \text{det}(C) = -3 \)
d)   \( \text{det}(D) = 10 \)
e)   \( \text{det}(E) = 12 \)
f)   \( \text{det}(F) = -54 \)
Matematická úloha – Determinant matic

3. Průsečík dvou rovin

Najděte průsečík rovin:
a)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = 2 + s, \quad y = s + t, \quad z = 3 + t, \quad s, t \in \mathbb{R}.\] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = 4 + u, \quad y = 2u - v, \quad z = 5 - v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
b)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = s, \quad y = 2 + s + t, \quad z = 3 + t, \quad s, t \in \mathbb{R}. \] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = u + v, \quad y = 4 - u, \quad z = 6 + v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
c)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = 3 + s, \quad y = -s, \quad z = 2 - t, \quad s, t \in \mathbb{R}. \] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = 3 + 2u - v, \quad y = u - 2v, \quad z = 2 + u + v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
d)   \[ \text{Rovina } \rho_1 \text{: } x = 1 + s, \quad y = 1 + t, \quad z = 1 + t, \quad s, t \in \mathbb{R}.\] \[ \text{Rovina } \rho_2 \text{: } x = 2 + u, \quad y = 2 - v, \quad z = 2 - v, \quad u, v \in \mathbb{R}. \]
Řešení
a)   \[ x = 4, \quad y = 8 - v, \quad z = 5 - v, \quad v \in \mathbb{R}. \]
b)   \[ x = -\frac{1}{2} + v, \quad y = \frac{9}{2} + v, \quad z = 6 + v, \quad v \in \mathbb{R}. \]
c)   \[ x = 3 + v, \quad y = -v, \quad z = 2 + 2v, \quad v \in \mathbb{R}. \]
d)   \[ x = 1 + v, \quad y = 2 - v, \quad z = 2 - v, \quad v \in \mathbb{R}. \]
Matematická úloha – Průsečík dvou rovin

4. Limity funkcí

Pomocí l'Hospitalova pravidla vypočítejte limity funkcí:
a)   \[\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}\]
b)   \[\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\]
c)   \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2}\]
d)   \[\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\]
e)   \[\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\]
f)   \[\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\]
Řešení
a)   0
b)   0
c)   0
d)   2
e)   0
f)   1
Matematická úloha – Limity funkcí

5. Derivace funkcí

Vypočítejte derivace následujících funkcí:
a)   \[ f(x) = x^2 \cdot e^x \]
b)   \[ g(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \]
c)   \[ h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \]
d)   \[ k(x) = \sqrt{x^2 + 1} \]
e)   \[ m(x) = e^{\sin(x)} \]
f)   \[ p(x) = \ln(x^2 + 1) \]
Řešení
a)   \[ f'(x) = e^x (2x + x^2) \]
b)   \[g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}\]
c)   \[h'(x) = \cos(2x)\]
d)   \[k'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\]
e)   \[m'(x) = e^{\sin(x)} \cos(x)\]
f)   \[p'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\]
Matematická úloha – Derivace funkcí

6. Integrál metodou per partes

Integrujte metodou per partes:
a)   \(\int x \sin(x) \, dx\)
b)   \(\int x e^x \, dx\)
c)   \(\int \ln(x) \, dx\)
d)   \(\int x^2 \cos(x) \, dx\)
e)   \(\int x \ln(x) \, dx\)
f)   \(\int e^x \cos(x) \, dx\)
Řešení
a)   \[-x \cos(x) + \sin(x) + C\]
b)   \[x e^x - e^x + C\]
c)   \[x \ln(x) - x + C\]
d)   \[x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) + C\]
e)   \[\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\]
f)   \[\frac{1}{2} e^x (\cos(x) - \sin(x)) + C\]
Matematická úloha – Integrál metodou per partes

7. Sarrusovo pravidlo

Vypočítejte determinant pomocí Sarrusova pravidla:
a)   \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \]
b)   \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\3 & 5 & 6 \end{vmatrix}\]
c)   \[ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}\]
d)   \[ \begin{vmatrix}1 & 3 & 5 \\2 & 1 & 4 \\3 & 2 & 1\end{vmatrix}\]
e)   \[ \begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3\end{vmatrix}\]
f)   \[\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}\]
Řešení
a)   \( 0 \)
b)   \( 7 \)
c)   \( -19 \)
d)   \( 28 \)
e)   \( 45 \)
f)   \( 1 \)
Matematická úloha – Sarrusovo pravidlo

8. Limity posloupností 2

Vypočítejte následující limity:
a)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 5}{n^2 + 4n + 1}\]
b)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n + \ln n}{n + 1}\]
c)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n^2}\]
d)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^2 + 1}\]
e)   \[\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n\]
f)   \[\lim_{n \to \infty} n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\]
Řešení
a)   3
b)   1
c)   0
d)   \( \infty \)
e)   \( e^{-2} \)
f)   1
Matematická úloha – Limity posloupností 2

9. Limity posloupností 1

Vypočítejte následující limity:
a)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\]
b)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + n}\]
c)   \[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\]
d)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}\]
e)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n+2}\]
f)   \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n + 1}{n^3 + 2n^2 + 3}\]
Řešení
a)   1
b)   2
c)   e
d)   0
e)   1
f)   0
Matematická úloha – Limity posloupností 1

10. Determinant matice

Spočítejte determinant matice:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( \text{det}(A) = -71 \)
b)   \( \text{det}(B) = 26 \)
Matematická úloha – Determinant matice

11. Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

Pomocí Gaussovy eliminace řešte soustavy rovnic:
a)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \]
b)   \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 3 \\ 6 & 9 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]
c)   \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
d)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 15 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 1 \)
b)   \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \)
c)   \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = 2 \)
d)   Nemá řešení.
Matematická úloha – Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

12. Derivace složených funkcí

Určete derivace následujících funkcí:
a)   \( f_1(x) = \sin(3x^2) \)
b)   \( f_2(x) = \ln(\cos(x^2)) \)
c)   \( f_3(x) = e^{x^3} \)
d)   \( f_4(x) = \sqrt{2x^5 + 1} \)
e)   \( f_5(x) = \tan(\ln(x)) \)
f)   \( f_6(x) = \frac{1}{x^2 + e^{2x}} \)
g)   \( f_7(x) = \sin(\sqrt{x}) \)
h)   \( f_8(x) = \frac{\ln(x)}{x^3} \)
Řešení
a)   \[ f_1'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x \]
b)   \[ f_2'(x) = -2x \cdot \tan(x^2)\]
c)   \[ f_3'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 \]
d)   \[ f_4'(x) = \frac{5x^4}{\sqrt{2x^5 + 1}} \]
e)   \[ f_5'(x) = \frac{1}{x \cdot \cos^2(\ln(x))} \]
f)   \[ f_6'(x) = -\frac{2x + 2e^{2x}}{(x^2 + e^{2x})^2} \]
g)   \[ f_7'(x) = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \]
h)   \[ f_8'(x) = \frac{1 - 3\ln(x)}{x^4} \]
Matematická úloha – Derivace složených funkcí

13. Derivace polynomů

Určete derivace funkcí:
a)   \( f_1(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 7 \)
b)   \( f_2(x) = -2x^5 + 4x^4 - x^3 + 6x^2 - 3x \)
c)   \( f_3(x) = 5x^3 - 7x^2 + x - 8 \)
d)   \( f_4(x) = -x^5 + 3x^4 - 2x^2 + x - 4 \)
e)   \( f_5(x) = 6x^4 - 5x^3 + 4x - 9 \)
f)   \( f_6(x) = -4x^5 + x^3 - 3x^2 + 7x \)
g)   \( f_7(x) = 3x^4 - x^2 + 2x - 1 \)
h)   \( f_8(x) = 5x^5 - 3x^4 + x^2 - 6 \)
Řešení
a)   \( f'_1(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x - 1 \)
b)   \( f'_2(x) = -10x^4 + 16x^3 - 3x^2 + 12x - 3 \)
c)   \( f'_3(x) = 15x^2 - 14x + 1 \)
d)   \( f'_4(x) = -5x^4 + 12x^3 - 4x + 1 \)
e)   \( f'_5(x) = 24x^3 - 15x^2 + 4 \)
f)   \( f'_6(x) = -20x^4 + 3x^2 - 6x + 7 \)
g)   \( f'_7(x) = 12x^3 - 2x + 2 \)
h)   \( f'_8(x) = 25x^4 - 12x^3 + 2x \)
Matematická úloha – Derivace polynomů

14. Plocha pod křivkou

Najděte obsah plochy pod křivkou:
a)   \( f(x) = 0.3x^2 + 0.2x - 0.2 \) v intervalu od \( x = 1 \) do \( x = 4 \),
b)   \( f(x) = e^{-x} + 2 \) v intervalu od \( x = 0 \) do \( x = 2 \).
Řešení
a)   Obsah plochy je \( 7.2 \) jednotek čtverečních.
b)   Obsah plochy je přibližně \( 4.8647 \) jednotek čtverečních.
Matematická úloha – Plocha pod křivkou

15. Determinant matic

Určete determinant matice:
a)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
c)   \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]
d)   \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 5 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
e)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]
f)   \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   0
b)   3
c)   0
d)   -33
e)   16
f)   0
Matematická úloha – Determinant matic

16. Neurčitý integrál

Najděte určitý neurčitý integrál:
a)   \[ \int x \cdot e^x \, dx \]
b)   \[ \int \ln(x) \, dx \]
c)   \[ \int x \cdot \cos(x) \, dx \]
d)   \[ \int x \cdot \ln(x) \, dx \]
e)   \[ \int x \cdot \sin(x) \, dx \]
f)   \[ \int x^2 \cdot e^x \, dx \]
Řešení
a)   \[ \int x \cdot e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \]
b)   \[ \int \ln(x) \, dx = x (\ln(x) - 1) + C \]
c)   \[ \int x \cdot \cos(x) \, dx = x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C \]
d)   \[ \int x \cdot \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \]
e)   \[ \int x \cdot \sin(x) \, dx = -x \cdot \cos(x) + \sin(x) + C \]
f)   \[ \int x^2 \cdot e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \]
Matematická úloha – Neurčitý integrál

17. Průsečík dvou rovin

Jsou dány dvě roviny:

\( x + y - z = 0 \)

\( -2x + y - z + 3 = 0 \)

Určete průsečík těchto rovin.
Řešení
Průsečíkem rovin je přímka \( x + y - z = 0 \) a \( -2x + y - z + 3 = 0 \).
Matematická úloha – Průsečík dvou rovin

18. Řešení soustavy Gaussovou eliminací

Je dána soustava rovnic o 4 neznámých

\[ \begin{aligned} 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 4x_4 &= 10 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 - 3x_4 &= -5 \\ 4x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 &= 12 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 &= 7 \end{aligned} \]

Ověřte Frobeniovu podmínku a soustavu vyřešte pomocí Gaussovy eliminační metody.
Řešení
\( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 3 \), \( x_4 = -2 \)
Matematická úloha – Řešení soustavy Gaussovou eliminací

19. Hodnost matic 1

Určete hodnost následujících matic:
a)   \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
b)   \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
c)   \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]
d)   \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
e)   \[ E = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
f)   \[ F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Řešení
a)   Hodnost 2, matice je singulární.
b)   Hodnost 3, matice je regulární.
c)   Hodnost 1, matice je singulární.
d)   Hodnost 3, matice je regulární.
e)   Hodnost 3, matice je regulární.
f)   Hodnost 2, matice je singulární.
Matematická úloha – Hodnost matic 1

20. Průsečík rotačního paraboloidu a kulové plochy

Je dán rotační paraboloid \( z = x^2 + y^2 \) a kulovou plochu \( x^2 + y^2 + z^2 = 20 \).

Určete průsečík těchto dvou těles.
Řešení
Průsečík rotačního paraboloidu a kulové plochy je množina bodů ležících na kružnici v rovině \( z = 4 \), kde \( x^2 + y^2 = 4 \).
Matematická úloha – Průsečík rotačního paraboloidu a kulové plochy
 
12