Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–8 / 8

Přehled ročníků

1. Hodnost matic 2

Určete hodnost následujících matic:

a) \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \]

b) \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]

c) \[ C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 4 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]

d) \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]

e) \[ E = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

f) \[ F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) \( \text{hodnost}(A) = 1 \)

b) \( \text{hodnost}(B) = 3 \)

c) \( \text{hodnost}(C) = 3 \)

d) \( \text{hodnost}(D) = 2 \)

e) \( \text{hodnost}(E) = 1 \)

f) \( \text{hodnost}(F) = 3 \)

2. Determinant matic

Určete determinant matic převodem na trojúhelníkový tvar:

a) \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 4 & -3 & 6 \end{pmatrix} \]

b) \[ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -3 & 5 \end{pmatrix} \]

c) \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{pmatrix} \]

d) \[ D = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 4 & 7 & 3 \end{pmatrix} \]

e) \[ E = \begin{pmatrix} 6 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \]

f) \[ F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & -1 \\ 5 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) \( \text{det}(A) = 7 \)

b) \( \text{det}(B) = 63 \)

c) \( \text{det}(C) = -3 \)

d) \( \text{det}(D) = 10 \)

e) \( \text{det}(E) = 12 \)

f) \( \text{det}(F) = -54 \)

3. Sarrusovo pravidlo

Vypočítejte determinant pomocí Sarrusova pravidla:

a) \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \]

b) \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \\3 & 5 & 6 \end{vmatrix}\]

c) \[ \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}\]

d) \[ \begin{vmatrix}1 & 3 & 5 \\2 & 1 & 4 \\3 & 2 & 1\end{vmatrix}\]

e) \[ \begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 3\end{vmatrix}\]

f) \[\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}\]

Řešení

a) \( 0 \)

b) \( 7 \)

c) \( -19 \)

d) \( 28 \)

e) \( 45 \)

f) \( 1 \)

4. Determinant matice

Spočítejte determinant matice:

a) \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]

b) \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) \( \text{det}(A) = -71 \)

b) \( \text{det}(B) = 26 \)

5. Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

Pomocí Gaussovy eliminace řešte soustavy rovnic:

a) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \]

b) \[ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 3 \\ 6 & 9 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]

c) \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]

d) \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 15 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 1 \)

b) \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 1 \)

c) \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = 2 \)

d) Nemá řešení.

Matematická úloha – Soustavy rovnic Gaussovou eliminací

6. Determinant matic

Určete determinant matice:

a) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

b) \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

c) \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]

d) \[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 5 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

e) \[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]

f) \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]

Řešení

a) 0

b) 3

c) 0

d) -33

e) 16

f) 0

7. Řešení soustavy Gaussovou eliminací

Je dána soustava rovnic o 4 neznámých

\[ \begin{aligned} 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 4x_4 &= 10 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 - 3x_4 &= -5 \\ 4x_1 + 3x_2 + x_3 - x_4 &= 12 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 &= 7 \end{aligned} \]

Ověřte Frobeniovu podmínku a soustavu vyřešte pomocí Gaussovy eliminační metody.